推导过程
（1）假设公差为d的等差数列前n项和为Sn：
S n=a1+a2+a3+——·+an
（2）将数列中的每一项倒序排列，并将等差数列的规律添入：
S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+——·+[a1+(n-1)d]
（3）将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后全部除以2：
S n={a1+a1+(n-1)d}×n/2
（4）根据等差数列的通项公式，将公式中的a1和an用n和d代替：
S n={n[a1+ a1+(n-1)d]} / 2
（5）为了让公式更加通用，将a1+a1+(n-1)d的和记为2a1+(n-1)d：
S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2
即可得到等差数列求和公式。因此，对于任意长度为n的等差数列，可以使用公式S n={n[2a1+(n-1)d]} / 2来求和。
等差数列的求和公式可以用两种方法推导得出。
方法一：
我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d，则：
Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + [a1+(n-1)d]
然后，我们计算：
Sn + Sn = [a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)] + [(a1+(n-1)d) + (a1+(n-2)d) + ... + (a1+d) + a1]
相邻的项相加，得到：
2Sn = [(2a1 + (n-1)d) + (2a1 + (n-1)d) + ... + (2a1 + (n-1)d)]
将等号右边的一系列项写成 n 个 2a1 + (n-1)d 的形式，则：
2Sn = n[2a1 + (n-1)d]
化简可得求和公式：
Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]
方法二：
递推法利用等差数列的递推关系进行推导。
首先，我们设等差数列的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，公差为 d。假设我们已经知道了前 n-1 项的和 S(n-1)，那么第 n 项的值为：
an = a1 + (n-1)d
将前 n 项的和分解为前 (n-1) 项的和与第 n 项的和，有：
Sn = S(n-1) + an
将 an 带入得：
Sn = S(n-1) + a1 + (n-1)d
接着，我们通过多次递推，将 S1 代入，得到：
Sn = na1 + (1+2+...+(n-1))d
然后，我们利用高斯公式：
1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2
将其代入得到：
Sn = n/2 [2a1 + (n-1)d]
由此也得到了等差数列求和公式。
这两种方法各有优劣，但从中可以看到公式的本质，即等差数列前 n 项和与其首项和公差之间的关系。
