求经过点且与圆相切的切线方程并作图。
解1：利用过圆上一点的切线方程如图1，设过点的直线与圆相切于，根据过圆上一点求切线方程的公式，得圆的切线方程为
（1）
因为切线过点
所以
（2）
又因为点在圆上
所以（3）
联立（2）（3）得
代入（1）即得所求圆的切线方程为和。
解2：利用勾股定理设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为
，连接
，则
，所以由勾股定理，得
，即
，所以
又因为点在圆上，所以（2），联立（1）（2）得
代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。
解3：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。设所求直线与圆相切于，则
。因为，所以
，所以切线的方程为
。
因为过点，所以代入上式得
（1）
而 （2）
以下同解2。
解4：利用圆锥曲线切线的定义设
是圆上任意一点，作割线
交圆于另一点
，则
，又因为
两点都在圆上。所以
（2）
得
代入（1），得
，当Q与
重合时，即当
，
时，割线的斜率
就变成过圆上一点的切线的斜率
，所以
。以下仿解3。解5：利用点到直线的距离公式设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为
，即
。因为圆心O的坐标为，半径
，所以由点到直线的距离公式，得
，解得
。所以切线方程
，即，再结合图形知另一条切线方程为。解6：利用斜率为k的圆的切线方程因为圆的方程为，所以，故根据圆
的切线方程
，得
。 （1）因为
点在切线上，所以
。
解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。
解7：利用切线与圆只有一个公共点的性质
设所求圆的切线方程为
代入中，整理得
。 （2）因为直线和圆相切，它们只有一个公共点，所以方程（2）有两相等实数根，所以
，即
，所以
（3）又因为切线过点，所以由（1）得
（4）解（3）、（4），得
代入（1）得，再结合图形知另一条切线方程为。解8：利用参数方程
设所求切线的参数方程为
（
为参数，
）（1）
代入方程中，消去x、y，整理得
。
因为直线和圆相切
所以
，即
。因为
，所以
。所以
或
，即
。因为
，所以
（2）
从（1）用代入法消去参数t得
， （3）将（2）中
的值代入（3）即得所求圆的切线方程为
和。解9：利用两条直线重合的条件
设所求直线与圆相切于，则切线方程为（1）
因为切线过点和
，所以根据两点式所求切线的方程可表示为
，即
（2）
因为（1）、（2）表示同一条直线，所以根据两条直线重合的条件，得
，解得
代入（1）或（2）即得所求圆的切线方程同上。解10：利用过圆外一定点的圆的切线方程因为过定点
向圆引两条切线的方程为
（推导省略）所以过点的圆的切线方程为
。
化简整理，得
。所以
。所以
故所求圆的切线方程为和。
最后必须引起注意的是，本题中的一条切线是和y轴平行的。由于一切平行于y轴的直线的斜率都是不存在的，因而解5、解6、解7开始只求出一条切线方程，而另一条平行于y轴的切线就遗漏了。遇到这种情形时，必须结合图形找到另一解，切不可疏忽大意。
--END--
