微积分的本质是什么官方双语（官方双语微积分的本质）

1、两种重要的、针对函数的运算：求导与积分。它们的运算结果也是一个函数。先说求导。对于函数 f(x ，它的导函数 （即求导运算的结果，简称导数）记作 f′(x 。简单来说，f′(x0 就是f(x 在 x0 这点的切线斜率。即， f′(x 是 f(x 的切线斜率关于切点横坐标的函数。

为了方便描述，引入一个表示「微小变化量」（自己起的名字）的符号。以后默认用 dx 表示变量 x 的变化量（ dy 表示变量 y 的变化量，以此类推），且 dx 趋近于 0 。那么对于 x0 和它的函数值 f(x=y ，设当 x 增加了 dx 时 y 增加了 dy 。由于这个变化量是「微小」（趋近于 0 ）的，所以 x 和 x+dx 之间的函数图象可以近似成一条直线，它的斜率就是 dydx 。因此，有时也把导函数写成 f′(x=dydx 。

注意，不同的 x 会造成 dy 取不同的值。有点懵？先从最简单的例子，一次函数说起。显然，无论 x 如何改变，也无论 dx 取何值（哪怕不趋近于 0 ） ，dydx 都是一个定值，即这个一次函数的斜率 k （换句话说，这个一次函数处处的切线都与它本身重合）。因此，一次函数的导数是一个常函数 f′(x=k 。

再举一个稍复杂的例子。对于 f(x=x2 ，可以这样求出它的导函数：f′(x=dydx=f(x+dx?f(xdx=(x+dx2?x2dx=2dx?x+dx2dx=2x+dx由于 dx 趋近于 0 ，所以 f′(x=2x 。于是我们成功算出了 f(x=x2 的导数是 f′(x=2x 。不妨再拓展一下，证明 f(x=xk 的导数是 f′(x=kxk?1 。做法和刚才类似（其中用了一次二项式定理）：f′(x0=f(x0+dx?f(x0dx=(x0+dxk?xk0dx=∑ki=0Cikxi0dxk?i?xk0dx=∑k?1i=0Cikxi0dxk?idx=∑i=0k?1Cikxi0dxk?i?1。

到这里似乎不知道怎么办了？别忘了 dx 趋近于 0 ，所以只有 k?i?1=0 即 i=k?1 这一项是非 0 的！激动.jpg 。所以，f′(x0=kxk?10 。x0 是任意的，所以 f′(x=kxk?1 。

2、导数的加减：h(x=f(x+g(x,h′(x=f′(x+g′(x。设 yf=f(x ，yg=g(x ，yh=h(x （类似的记号下面不再赘述） ，同时别忘了 f′(x=dyfdx ， g′(x=dygdx ，则有：∵yh=yf+yg,(yh+dyh=(yf+dyf+(yg+dyg∴dyh=dyf+dyg=f′(xdx+g′(xdx=(f′(x+g′(xdx两边同时除以 dx ，得到 h′(x=dyhdx=f′(x+g′(x 。

3、导数的乘法：h(x=f(xg(x,h′(x=f(xg′(x+f′(xg(x口诀：「左乘右导，右乘左导」证明如下：∵yh=yf?yg,(yh+dyh=(yf+dyf?(yg+dyg∴dyh=yf?yg+yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg?yh=yf?dyg+yg?dyf+dyf?dyg=f(x?g′(xdx+g(x?f′(xdx+f′(xdx?g′(xdx两边同时除以 dx 得：h′(x=f(xg′(x+f′(xg(x+f′(xg′(xdx同样，带 dx 的项趋近于 0 ，因此 h′(x=f(xg′(x+f′(xg(x 。

4、链式法则：若 h(x=f(g(x ，则 h′(x=f′(g(x?g′(x 。当自变量从 x0 变成 x0+dx ，则 yf 的变化量是 f′(x0dx 。现在，g 的自变量的变化量是 dx ，yg 的变化量是 g′(xdx ，所以 yf 的变化量是 f′(g(x?g′(xdx （注意 f 的自变量的初值是 g(x 不是 x ）。因此 h′(x=f′(g(x?g′(x 。

5、导数的除法：若 h(x=f(xg(x ，则 h′(x=g(xf′(x?f(xg′(xg(x2。

6、证明：∵yh=yfyg,(yh+dyh=yf+dyfyg+dyg∴dyh=yf+dyfyg+dyg?yfyg=yg(yf+dyf?yf(yg+dygyg(yg+dyg=g(xf(x+g(xf′(xdx?f(xg(x?f(xg′(xdxg(x2+g(xg′(xdx=g(xf′(xdx?f(xg′(xdxg(x2+g(xg′(xdx。两边同时除以 x ，得到：h′(x=g(xf′(x?f(xg′(xg(x2+g(xg′(xdx，由于 dx 趋于 0 ，所以：h′(x=g(x、f′(x?f(xg′(xg(x2。

1、含义：双语教育是由英语“bilingualeducation”翻译而来。国外有关双语教育的界定不下几十种，但可以把它划分为广义的双语教育和狭义的双语教育两种。

2、广义的双语教育指的是学校中使用两种语言的教育；狭义的双语教育指的是学校中使用第二语言或外语传授学科内容的教育。幼儿双语教学是指双语教育，就是对幼儿进行的汉语和外语两种语言的训练，旨在培养幼儿听说双语的兴趣，促进幼儿认知、记忆、想象等认知能力的协凋发展。

1、双语学校即实行双语教育教学的学校。国外有关双语教育的界定不下几十种，但可以把它划分为广义的双语教育和狭义的双语教育两种：广义的双语教育指的是学校中使用两种语言的教育。

2、狭义的双语教育是学校中使用第二语言或外语传授学科内容的教育。双语教育的目的，不仅仅是为了培养双语人才或追求共同的语言，而且大多数是源于种族同化、文化认同、社会稳定等社会和政治的需要，甚至基于民族和谐共处、避免国家分裂的考虑。

Dont gild the lily.不要给百合花镀金/画蛇添足。

Virtue is bold, and goodness never fearful.美德和善良从来无所畏惧。

There are more things between heaven and earth than are dreamt of in your philosophy.在这天地间有许多事情是人类哲学所不能解释的。

To be, or not to be: that is the question.生还是死，这是个问题。

The course of true love never did run smooth.真爱总要饱经历练。

Do not, for one repulse, give up the purpose that you resolved to effect.不要只因一次失败，就放弃你原来决心想达到的目的。

The empty vessels make the greatest sound.满瓶不响，半瓶咣当。

A light heart lives long.豁达者长寿。

God is impartial , the people who has destiny in hand stands forever in thebalance both ends , the people who is grasped by destiny knows that God bestowsdestiny on him only only.上帝是公平的，掌握命运的人永远站在天平的两端，被命运掌握的人仅仅只明白上帝赐给他命运!

Proud one person , result have destroyed self always within pride.一个骄傲的人，结果总是在骄傲里毁灭了自己。

To be or not to be，thats a question.生存还是死亡，那是个问题。

Abandoning time person , time also is able to abandon him.放弃时间的人，时间也会放弃他。

1、（Mark Twain l835～1910）American writers.The given name fills the erroneous you · bright Herrn · Klemens.Mark · Twain is its pen name.Is born in a Mississippi river bank small town Hannibals village poor attorney the family,goes out since childhood acknowledges as teacher the apprentice.Has worked as the type-setter,Mississippi river sailors,south the armed forces soldiers,but also has managed the lumber industry,the mining industry and the publishing industry,but the effective work is works as reporter and writing humorous literature.

2、Mark · Twain is the US critical realism literature founder,world renowned short story master.He has experienced US from “freely” the capitalism to the imperialism developing process,its thought and the creation also displays for from teases the pungent satire to arrive the pessimism and misanthropy development phase again livelily.His early creation,like the short story Elects Governor (1870,Elder brother You Smiths Friend To go abroad Once again Unexpectedly (1870 and so on,by humorous,the humorous writing technique ridicules US “the democratic election” absurd and “the democratic heaven” the essence。

3、马克·吐温（Mark Twain，1835年11月30日-1910年4月21日 ），原名萨缪尔·兰亨·克莱门（Samuel Langhorne Clemens），美国作家、演说家，“马克·吐温”是他的笔名，原是密西西比河水手使用的表示在航道上所测水的深度的术语。12岁时，父亲去世，他只好停学，到工厂当小工。曾做过密西西比河的领航员、矿工及新闻记者工作。渐渐地手写一些有趣的小说，开始了自己的写作生涯。代表作品有小说《百万英镑》《哈克贝利·费恩历险记》《汤姆·索亚历险记》等。

4、马克·吐温是美国批判现实主义文学的奠基人，马克·吐温一生写了大量作品，体裁涉及小说、剧本、散文、诗歌等各方面。从内容上说，他的作品批判了不合理现象或人性的丑恶之处，表达了这位当过排字工人和水手的作家强烈的正义感和对普通人民的关心；从风格上说，专家们和一般读者都认为，幽默和讽刺是他的写作特点。他经历了美国从初期资本主义到帝国主义的发展过程，其思想和创作也表现为从轻快调笑到辛辣讽刺再到悲观厌世的发展阶段，前期以辛辣的讽刺见长，到了后期语言更为暴露激烈。