考虑一个三角形ABC，分别用向量a、b、c表示向量AB、AC、BC。记向量a的模为|a|，向量a与向量b的夹角为θ。
根据向量的数量积定义，有：
a·b = |a||b|cosθ
注意到向量c可以表示为向量a和向量b的差：
c = b - a
将其代入向量数量积的定义中，得到：
(c + a) · (c + a) = |c + a||c + a|cosθ
(c + a) · (c + a) = (b - a + a) · (b - a + a)
|c|^2 + 2a·c + |a|^2 = |b|^2 - a·b + a·b - |a|^2 + 2b·a + |a|^2
|c|^2 = |b|^2 - 2a·b + 2b·a
根据向量的模定义，可以将上述式子中的向量模平方替换为其实际的值，得到余弦定理的推导结果：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosθ
这就是利用向量法推导得到的余弦定理。
下面是余弦定理的推导过程：
假设有一个三角形 ABC，其中 AB = c，BC = a，CA = b。
根据余弦定理，有：
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)
其中 C 是角度 CAB 的度数。
这是余弦定理的标准形式，它描述了一个三角形的边长和夹角之间的关系。在这个推导过程中，我们使用了三角形的边长和余弦函数来推导出该公式。其他七种方法的推导可能是指在不同的数学推导或几何方法中使用了不同的变体和等价关系。
