阿氏圆是指在三角形 $ riangle ABC$ 中，以 $BC$ 中点 $M$ 为圆心、$AB$, $AC$ 中点 $E$, $F$ 为半径所画的圆，设 $AM$ 与 $EF$ 交于点 $T$；以 $AT$ 为直径所画的圆过三角形 $ riangle ABC$ 的外心 $O$，将其交点记作 $P$，则 $P$ 为 $BC$ 上的点。
要证明有一个点 $P$ 是阿氏圆的外分点，可以采用以下证明方法：
1. 首先，根据阿波罗尼斯圆以及 $BC$ 中点 $M$，设 $angle BAC=2alpha$，则有
$$angle AEM=angle AFM=alpha$$
2. 设$angle BTF=x$，则$angle QTM=angle PTO=alpha+x$。
3. 由 $angle AFC=2alpha$ 和 $angle AEM=alpha$，我们得到 $angle PFM=angle PBM=3alpha$。同样地，我们可以证明 $angle PCB=angle PFQ=3alpha$。
4. 因此，三角形 $ riangle PFB$ 和 $ riangle QPC$ 相似，$ riangle PFC$ 和 $ riangle QPB$ 相似。即有：
$$frac{PF}{FB}=frac{PQ}{QC}$$
$$frac{PF}{FC}=frac{QP}{PB}$$
5. 将上面两个关于 $PQ$ 的等式相除，可以得到
$$frac{FB}{FC}=frac{PB}{PC}$$
6. 在三角形 $ riangle ABC$ 中，由角平分线定理可以得到
$$frac{AB}{AC}=frac{PB}{PC}$$
结合上面的等式式子，我们可以得到
$$frac{FB}{FC}=frac{AB}{AC}$$
由此得知 $P$ 是阿氏圆的外分点，证毕。
