要证明任意两个有理数之间一定存在无理数，就不妨用反证法来证明，即，任意两个有理数之间全是有理数。
我们不妨设有理数a₁=m₁/n₁（n₁≠0），有理数a₂=m₂/n₂（n₂≠0），且a₁<a₂，即，至少有m₁≠m₂，或n₁≠n₂存在。
这样，用（a₁xa₂）↑½，容易证明，a₁<（a₁xa₂）↑½<a₂。
并且，（m₁/n₁）x（m₂/n₂）≠（m/n）²，这是由于m₁与m₂和n₁与n₂不可能同时有完全相同的负因数，也就是说a₁与a₂的积不存在分子的分母全是由质因数的平方构成的。
因此，a₁xa₂不可能写成（m/n）²的形式。所以，（a₁xa₂）↑½是个无理数。
证明： 设α，β∈R，且α<β。由阿基米德性，必存在自然数N，使得N(β-α)>1，即β-α>(1/n) 任意取定有理数γ(0)
0，a-γ(0)》0，故由阿基米德性，存在m∈N，使得γ(0)+(m/N)>α.可见，数列{γ(0)+(m/N)}中总有一项大于a. 设 γ(0)+(n(0)/N) 为此数列第一个大于α的项，于是γ(0)+(n(0)-1)/n ≤ α，故 γ(0)+(n(0)/N)-β≤a-(n(0)-1)/N+(n(0)/N)-β =a+(1/N)-β <0 即 α< γ(0)+(n(0)/N)<β，而 γ(0)+(n(0)/N)显然为有理数，即证。 类似可以证明：任意两个不相等的实数之间必存在一个无理数。于是有：任意两个不相等的实数之间必有一个实数。
