1. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3y，且y(0) = 1。
解：因为dy/dx = 2x + 3y是一个一阶线性微分方程，可化为dy/dx - 3y = 2x，然后使用常系数齐次方程的解法得到通解为y = Ce^(3x) - (2/3)x - (1/9)。将y(0) = 1代入可得C = 10/9，所以特解为y = (10/9)e^(3x) - (2/3)x - (1/9)。
例题：计算函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 2 的导数 f'(x)。
解题步骤如下：
Step 1: 确定函数 f(x)。
给定的函数是 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 2。
Step 2: 应用导数的基本规则。
根据导数的基本规则，我们可以逐项求导。
对于项 2x^3，我们使用幂函数的求导法则：
(d/dx) x^n = nx^(n-1)
所以，(d/dx) 2x^3 = 2 * 3x^(3-1) = 6x^2。
对于项 3x^2，同样使用幂函数的求导法则：
(d/dx) x^n = nx^(n-1)
所以，(d/dx) 3x^2 = 3 * 2x^(2-1) = 6x。
对于项 -6x，使用常数倍法则，即常数与函数的导数相乘：
(d/dx) kf(x) = k * (d/dx) f(x)
所以，(d/dx) -6x = -6 * (d/dx) x = -6。
对于项 2，常数项的导数为零：
(d/dx) c = 0
所以，(d/dx) 2 = 0。
Step 3: 组合求导结果。
将每一项的导数组合起来，得到 f'(x) 的表达式：
f'(x) = 6x^2 + 6x - 6。
这样，我们就计算出了函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 2 的导数 f'(x)。导数表示了函数在不同点上的变化率，是微积分中非常重要的概念之一。
