动量守恒是一个基本的物理定律，它指的是在一个系统内，如果没有外部力的作用，系统的总动量将保持不变。动量守恒可以通过牛顿的第二和第三定律来证明。以下是一个简单的证明过程：
考虑一个只包含两个物体的封闭系统，它们之间没有外部力的作用。设第一个物体的质量为(m_1)，速度为(v_{1i})（初始速度），第二个物体的质量为(m_2)，速度为(v_{2i})。
根据牛顿的第二定律，物体的动量等于质量乘以速度，即(p = m imes v)。第一个物体的初始动量为(p_{1i} = m_1 imes v_{1i})，第二个物体的初始动量为(p_{2i} = m_2 imes v_{2i})。
在系统内部，没有外部力的作用，所以系统的总动量是两个物体初始动量之和：(P_{ ext{total}} = p_{1i} + p_{2i})。
现在考虑这两个物体发生碰撞（可以是弹性碰撞或非弹性碰撞），在碰撞后它们的速度分别变为(v_{1f})和(v_{2f})。根据牛顿的第三定律，内部力的作用力是相互的，大小相等、方向相反。所以，在碰撞中，第一个物体受到的外部力（来自第二个物体）是(-F)，第二个物体受到的外部力（来自第一个物体）是(F)。这里，(F)表示两个物体之间的内部力。
根据牛顿的第二定律，物体受到的力等于质量乘以加速度，即(F = m imes a)。假设两个物体在碰撞中的加速度相同，即(a_1 = a_2 = a)。
根据动量定理，(F imes t = m imes (v_f - v_i))，其中(t)表示碰撞的时间。
将以上方程组合并，我们可以得到：
[m_1 imes a imes t = -m_1 imes (v_{1f} - v_{1i})]
[m_2 imes a imes t = m_2 imes (v_{2f} - v_{2i})]
将上述两式相加，得到：
[a imes t imes (m_1 + m_2) = m_2 imes (v_{2f} - v_{2i}) - m_1 imes (v_{1f} - v_{1i})]
由于内部力的作用时间很短，可以近似为零。所以，(a imes t)近似为零，上式变为：
[m_1 imes (v_{1f} - v_{1i}) = m_2 imes (v_{2f} - v_{2i})]
这就是碰撞后两个物体的动量守恒关系。在这个过程中，我们假设了内部力的作用时间很短，因此可以忽略内部力对系统的总动量的影响。这个证明过程说明了在没有外部力作用的情况下，系统内部的动量守恒。
