牛顿迭代法，也称为牛顿-拉弗森方法，是一种在实数域和复数域上近似求解方程根的有效方法。给定一个实值函数 ( f(x) )，我们希望找到它的零点，即 ( f(x) = 0 )。牛顿迭代法通过迭代逼近根的位置，迭代公式如下：
[ x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)} ]
这里 ( x_n ) 是第 ( n ) 次迭代后得到的近似值，( f'(x_n) ) 是函数 ( f(x) ) 在 ( x_n ) 处的导数。
为了保证牛顿迭代法的收敛性，需要满足以下条件：
1. 函数 ( f(x) ) 在根的邻域内必须可导。
2. 函数 ( f(x) ) 在根的邻域内的导数不为零。
3. 初始近似值 ( x_0 ) 必须足够接近真实的根。
下面是一个牛顿迭代法收敛性的例题：
例题：使用牛顿迭代法求解方程 ( f(x) = x^2 - 2 ) 的正根，取初始近似值 ( x_0 = 1.5 )。
解：首先计算函数的导数 ( f'(x) = 2x )。
根据牛顿迭代公式，我们有：
[ x_{n+1} = x_n - frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - frac{x_n^2 - 2}{2x_n} ]
接下来进行迭代：
[ x_1 = 1.5 - frac{(1.5)^2 - 2}{2 cdot 1.5} = 1.5 - frac{0.25}{3} = 1.35 ]
[ x_2 = 1.35 - frac{(1.35)^2 - 2}{2 cdot 1.35} approx 1.4142 ]
[ x_3 = 1.4142 - frac{(1.4142)^2 - 2}{2 cdot 1.4142} approx 1.4142 ]
从 ( x_2 ) 到 ( x_3 ) 的变化非常小，说明迭代已经收敛到正根 ( sqrt{2} ) 附近，约等于 1.4142。
牛顿迭代法的优势在于收敛速度快（通常是二阶收敛），但需要注意的是，它的收敛性依赖于良好的初始猜测和函数的性质。如果函数在根附近的导数很小或者函数不是单调的，牛顿迭代法可能不会收敛。
