裂项公式推导过程图文（常见10种裂项公式）

裂项相消法是数列求和的一种方法，目的在于把一项通过拆成两项相减的形式进行化简求和。

常用公式推导如下图所示。

如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

例1、分数裂项基本型求数列an=1/n(n+1) 的前n项和。

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

＝ 1-1/(n+1)

＝ n/(n+1)

例2、整数裂项基本型求数列an=n(n+1) 的前n项和。

an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）

则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）

＝ (n-1)n(n+1)/3