柯西不等式公式及推论（高中数学开窍最快方法）

公式基本结构

（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2≤（a12+

a22+a32

+…+an2）(b12

+b22+b32+…+bn2)

当且仅当

时等号成立

二阶形式（a1b1+a2b2）2≤（a12+

a22）(b12

+b22)

当且仅当

时等号成立

三阶形式（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+

a22+a32）(b12

+b22+b32)

当且仅当

时等号成立

二．证明

先证明较简单的情况（以三阶形式为例，用构造法证明）

构造f(x)

=（a12+

a22+a32）x2+2（a1b1+a2b2+a3b3）x+(b12

+b22+b32)

=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0

△=4（a1b1+a2b2+a3b3）2-4（a12+

a22+a32）(b12

+b22+b32)

对于任意的x∈R等式恒成立

 ,

∴△≤0，∴当且仅当

时，取“=”