极限的严格减性证明过程如下：
对于任意的正整数 n，如果 lim x→∞ (1/x)→0，则有：因为 1/x 趋近于 0，所以 lim x→∞ 1/x→0。
对于任意的正整数 n，如果 lim x→∞ x(1)/x(2)→0，则有：因为 x(1) 和 x(2) 都趋近于 1，所以 lim x→∞ x(1)/x(2)→0。
对于任意的非负实数 a、b，如果存在数 N，使得对于任意的正整数 n，都有
关于这个问题，假设有一个数列 {an}，如果存在一个数 a，满足对于任意给定的正实数 ε，都存在正整数 N，使得当 n>N 时，有 |an-a|<ε 成立，那么这个数 a 就是数列 {an} 的极限。
下面我们来证明一个具体的例题：
证明数列 {an} = 1
的极限是 0。
解：根据定义，我们需要证明对于任意给定的正实数 ε，都存在正整数 N，使得当 n>N 时，有 |1
-0|<ε 成立。
根据绝对值的定义，有 |1
-0|=|1
|<ε。
将不等式两边都取倒数，得到 n>1/ε。
因此，当取 N=⌈1/ε⌉+1 时，当 n>N 时，有：
|1
-0|=1
<1/(⌈1/ε⌉+1)≤1/(1/ε)+1=ε
所以，数列 {an} = 1
的极限是 0。
相关定义：
1、设为数列。 , 如果存在正数，使得时有. 则称数列收敛于, 这个定数称为数列的极限，并记作或. 读作当趋于无穷大时，的极限等于或趋于.
另外，, , 的定义: 略。
2、设为数列。如果存在, 对任意正数, 使得. 则称数列不收敛于。如果对任意常数，都有不收敛于. 成该数列是发散数列
类似可以定义, , 。略。
利用极限定义证明数列极限是数列极限问题的基本问题，证明不易理解。在推文“有了它，什么考试都不怕”中，我们介绍了很多简单例题，请同学们参考学习。这里介绍一个考研试题和一个练习。
例1、暨南大学2012年考研试题。（1）证明：试用方法证明：, 其中
（2）叙述的定义。
解：对, 要使得, 注意
只要， 则. 取, 则对任意必有. 由定义知道.
(2)略。
注记：用定义法证明数列极限是一种基本方法，证明的难点在于寻找,使得当时成立. 这一步有很多技巧。
对于, 找的出发点有两个：
(a)容易解不等式，解出的结果. 则为所求。
(b)不等式很难求解，放大（这一步技巧多），再解不等式,解出的结果. 则为所求。
(c)也可以由已知条件给出。
你好，假设有一个函数$f(x)$，要证明$limlimits_{x o a}f(x)=L$，可以使用以下步骤：
步骤1：对于任意$epsilon>0$，需要找到一个$delta>0$，使得当$0<|x-a|<delta$时，$|f(x)-L|<epsilon$。
步骤2：可以根据函数$f(x)$的性质，来找到一个合适的$delta$。
例如，假设$f(x)=frac{1}{x}$，要证明$limlimits_{x o 2}frac{1}{x}=0$。
步骤1：假设$epsilon>0$，需要找到一个$delta>0$，使得当$0<|x-2|<delta$时，$|frac{1}{x}-0|<epsilon$。
步骤2：根据函数$f(x)=frac{1}{x}$的性质，可以得到：
$|frac{1}{x}-0|=frac{1}{|x|}$。
因此，当$0<|x-2|<delta$时，有$frac{1}{|x|}<epsilon$，即$|x|>frac{1}{epsilon}$。
由于$x$趋近于$a=2$，所以可以限制$x$的范围为$1<x<3$。
因此，可以选择$delta=min{2-frac{1}{epsilon},frac{1}{epsilon}-1}$，当$0<|x-2|<delta$时，有：
$|frac{1}{x}-0|=frac{1}{|x|}<frac{1}{1+delta}<frac{1}{1+(2-frac{1}{epsilon})}=epsilon$。
因此，$limlimits_{x o 2}frac{1}{x}=0$得证。
