以下是七种角平分线分线段成比例的证明方法：
1. 外接圆法：取角的外接圆，并连接角的两个端点和圆心得到一条直径，过角的顶点作切线，切点就是角平分线的交点。利用割线定理和等弧定理可证明分线段成比例。
2. 辅助角法：在平面内绘制一条平行线，过角的两个端点分别与这条平行线交于A、B两点。以A、B为顶点画两个等角沿角平分线和平行线分别交于C、D两点。连线CD，利用等角和平行线的性质证明分线段成比例。
3. 内心法：作出角的内切圆，连接切点和角的顶点，这条线就是角平分线。利用内角和等于圆周角、切线定理和割线定理可证明分线段成比例。
4. 垂直平分线法：过角顶点作一条垂线，将角分为两部分，此时垂线将角平分且垂直于平分线。连接垂足和角两个端点，利用直角三角形的性质证明分线段成比例。
5. 三角形相似法：将角的两条腰分别延长成两条直线，将三角形划分成两个相似的三角形，利用相似三角形的性质证明分线段成比例。
6. 对称性法：利用角度的对称性找出平分线上的另外一点，使这条线段与角的另外两个交点构成一条等角。利用相似三角形和直线的性质证明分线段成比例。
7. 向量法：以角的顶点为原点建立一个坐标系，并作出两个向量与两条角边的方向相同。证明这两个向量成比例即可证明分线段成比例。
以上是七种角平分线分线段成比例的证明方法，不同方法适用于不同的情况，可以根据具体问题选择合适的证明方法。
角的平分线将角分为两个相等的角，如果一条直线同时是一个角的平分线和另外一个角的分线，则它将这两个角的大小按照一定比例分成两个线段。以下是七种证明方法：
1. 通过对称性证明。设AB、AC是角A的两条边，AD是角A的平分线，E在AD上，BE和CE分别与AC和AB交于F和G。连接AF、AG，并过G作EF的平行线交AF于H。利用对称性证明AH是角A的分线。
2. 通过相似三角形证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。连接BD、CE并延长交于F。则由相似三角形角度比及对应边比可得BF/FC=BD/CE，即AD是角A的分线。
3. 通过调和比证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。连接BD、CE并作DE的平行线交于F。则有AF/FB=(AE/EB)^2，AG/GC=(AD/DC)^2。因为AD=DC，所以AF/FB=AG/GC，即AD是角A的分线。
4. 通过欧拉定理证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。连接BE、CD并交于F。则有AF/FB=AE/EC，因为AD平分角A，所以由欧拉定理可得AF/FB=AD/DC，即AD是角A的分线。
5. 通过垂线定理证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。做DE上点F垂直于AD，并作BF、CE的平行线交于G。则由垂线定理可得DG/GE=BD/EC，而由平行线性质可得DG/GE=FB/FC，因此AD是角A的分线。
6. 通过向量证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。则有向量DE = (1/2)向量AB + (1/2)向量AC，又因为向量DF是向量DE的一半，所以有向量DF = (1/4)向量AB + (3/4)向量AC，即AD是角A的分线。
7. 通过面积比证明。设AD是角A的平分线，与角A的两条边AB、AC相交于D、E。作BE和CD的平行线分别交于H、I，则由平行线性质可得AH/HD=AE/ED，CI/ID=AC/BD。又因为三角形面积公式为S=1/2×底×高，所以面积比为AH/CI=AB^2/AC^2，而由相似三角形可知AE/ED=AC/BD，因此AH/CI=AB^2/AC^2，即AD是角A的分线。
