雅可比行列式公式

若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量()也对新变量()连续可微，并且



这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。偏导数的连锁法则也有类似的公式；例如，当对()连续可微，而()对()连续可微时，便有



如果(3)中的能回到，则



这时必须有

于是以此为系数行列式的联立线性方程组(2)中能够把()解出来。

由隐函数存在定理可知，在() 对连续可微的前提下,只须便足以保证（）对()连续可微。这样,连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下,在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。

在的情形，以为邻边的矩形()对应到()平面上的一个曲边四边形(),其面积关于的线性主要部分，即面积微分是



这常用于重积分的计算中。

如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与坐标系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组()是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。