幂函数定义:形如y=x^a(a为实数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。
幂函数图像必须出现在第一象限而不是第四象限。它是否出现在第二和第三象限取决于函数的奇偶性。幂函数图像最多只能出现在两个象限中。如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点必须是原点。
幂函数是基本初等函数之一。
一般地,y=x^α(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x^0 、y=x^1、y=x^2、y=x^-1(注:y=x^-1=1/x、y=x^0时x≠0)等都是幂函数。
扩展:
定义域和值域及其奇偶性
其中,a可为任何常数,但中学阶段仅研究a为有理数的情形(a为无理数
a为有理数的情形时,定义域为(0,+∞) ),这时可表示为
,其中m,n,k∈N*,且m,n互质。特别,当n=1时为整数指数幂。
(1)当m,n都为奇数,k为偶数时,定义域、值域均为R,为奇函数;
(2)当m,n都为奇数,k为奇数时,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数;
(3)当m为奇数,n为偶数,k为偶数时,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇非偶函数;
(4)当m为奇数,n为偶数,k为奇数时,定义域、值域均为(0,+∞),为非奇非偶函数;
(5)当m为偶数,n为奇数,k为偶数时,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数;
(6)当m为偶数,n为奇数,k为奇数时,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。