内切球外接球解题方法

内切球外接球解题方法

首页维修大全综合更新时间:2023-09-22 18:44:39

内切球外接球解题方法

1) 抓住“接”和“切”的关键特征

a) 外接球

外接球关键特征为外“接”。因此,各“接”点到球心距离相等且等于半径,解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。

b) 内切球

内切球关键特征为内“切”。因此,各“切”点到球心距离相等且等于半径,且与球心的连线垂直切面,解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。

2) 抓住“中心位置”的特性

在这类题中,组合体的中心常常因组合体的某些性质(如对称性)而位于一些特殊位置(如圆心、中心重合),因而很多时候确定中心位置对解题具有非常重要的作用。一般方法为:

a) 确定中心位置, 一般为解题的关键第一步

当为外接球、或只有一个内切球时,组合体的中心就是球心;当内切球不止一个,且两两相切时,可根据对称性、外接球的内接面的中心垂线等特性来确定中心位置。

b) 构建几何图形,一般为解题的关键第二步(然后只需计算基本量并代入公式求解了)

基于中心位置和球心(不与中心重合时),并结合外接点或内切点,构建可方便地用来辅助计算的几何图形——最终目标多为直角三角形。这是求解这类问题的要领与技巧。

3) 割补法(实用技巧)

当处理某些特殊几何体的外接球时,如果中心或圆心不方便定位,可考虑将其补全为正方体或长方体,这样球的中心就与正方体或长方体中心重合了(这是本质所在),使待求解问题有关的辅助图形构造、计算和理解都会因此变得便捷得多。如正四面体(第一图)、正八面体(第二图)、对棱相等的四面体(第三图,正四面体为其特例)、各棱于顶点处相互垂直的四面体(棱长相等或不等均可——其顶点即为长方体或正方体的一个顶点,图略)等。部分示意图如下:

4) 确定球心的一种通用方法——球的“垂径定理”(类比于圆的垂径定理而命名)

a) 球的“垂径定理”

球心与任一截面圆心的连线垂直于截面;反之,任一截面通过圆心的垂线穿过球心。

b) 确定球心的一种通用方法

根据以上性质,首先找几何体的一个内接面的外接圆的圆心,通过圆心且垂直于该平面的直线一定穿过球心,同理,可找到一条垂直于另一内接面的外接圆的圆心的直线;则两直线交点即为球心。

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