1. 定理设<math>f(z)= sum_{n geq 0} a_n z^n</math>为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数<math>z_0</math>，级数<math>sum_{ngeq 0} a_n z_0^n</math>收敛，则有: <math>lim_{t o 1^-} f(t z_0) = sum_{n geq 0} a_n z_0^n</math>。若<math>sum_{n geq 0} a_n R^n</math>收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。2. 例子和应用阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上<math>x^n</math>项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。1.为计算收敛级数<math> sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1}}{n} </math>，设<math>f(x)= sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = log (1+x)</math>。于是有<math>sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1}}{n} = lim_{x o 1^-} f(x) = log 2 </math>2.为计算收敛级数<math>sum_{n geq 0} frac{(-1)^n}{2n+1}</math>，设<math>g(x)= sum_{n geq 0} frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = arctan (x)</math>。因此有<math>lim_{x o 1^-} g(x) = arctan (1) = frac{pi}{4} = sum_{n geq 0} frac{(-1)^n}{2n+1}</math>
