如:
已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求证： 1/a+1/b+1/c+48(ab+bc+ca)>=25
简证 首先对所证不等式齐次化处理,等价于 ∑bc*(∑a)^3≥25abc∑a^2+2abc∑bc (1) (1) ∑a^4*(b+c)+3∑a^3*(b^2+c^2)-18abc∑a^2+10abc∑bc≥0 (2) (2)式分解为: a(3a^2+b^2+c^2-4bc)*(b-c)^2+b(3b^2+c^2+a^2-4ca)*(c-a)^2 +c(3c^2+a^2+b^2-4ab)*(a-b)^2≥0
∵(2)式是完全对称的,∴设a≥b≥c。
显然有:3a^2+b^2+c^2-4bc>0,故只需证 b(3b^2+c^2+a^2-4ca)(c-a)^2+c(3c^2+a^2+b^2-4ab)(a-b)^2≥0 ∵b≥c,(a-c)^2≥(a-b)^2，∴只需证下列两式成立即可。
(3b^2+c^2+a^2-4ca)+(3c^2+a^2+b^2-4ab)≥0 (3) (3b^2+c^2+a^2-4ca)-(3c^2+a^2+b^2-4ab)≥0 (4) (3)＜＝＝＞ 2a^2+4b^2+c^2-4ab-4ac≥0 ＜＝＝＞ (a-2b)^2+(a-2c)^2≥0,为显然。
(4)＜＝＝＞ 2(b^2-c^2)+4a(b-c)≥0,为显然。 故问题得证。
