两线段和的最值问题的常用解法(两条线段和的最小值问题)

两线段和的最值问题的常用解法(两条线段和的最小值问题)

首页维修大全综合更新时间:2024-01-17 10:24:37

两线段和的最值问题的常用解法

一、二次函数中常见的关于线段的最值问题有:

(1)单线段最值问题

(2)两条线段之和的最值

(3)线段之差绝对值的最值

(4)三条线段之和的最值问题

(5)三角形周长最值

二、理论依据

(1)垂线段最短

(2)两点之间线段最短

(3)点关于线对称

(4)线段的平移

(5)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边

(6)二次函数的最值问题

三、例题详解

3.1、单线段最值问题

原理:垂线段最短

例1、已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.

(1)求抛物线的表达式;

(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.

①求S关于t的函数表达式;

②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.

解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,

解得抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.

(2)在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,

∴抛物线的对称轴为直线x=1.

当t=2时,点C、P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,

∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),

∴点M的坐标为(1,6);

当t≠2时,不存在,理由如下:

若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,

∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2.

又∵t≠2,

∴不存在.

(3)①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0),

将B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.

∵点P的坐标为(t,﹣t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,﹣t+3),

∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,

3.2、两条线段之和的最值

原理:两点之间线段最短、对称性

例2、如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)

(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.

(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.

3.3、线段之差绝对值的最值

原理:三角形两边之差小于第三边、对称性

例3、如图,平面直角坐标系中,四边形OABC是直角梯形,AB∥OC,OA=5,AB=10,OC=12,抛物线y=ax2+bx经过点B、C.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)一动点P从点A出发,沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PQC是直角三角形?

(3)问在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得|MO﹣MB|的值最大?若存在,直接写出最大值和点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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