一、二次函数中常见的关于线段的最值问题有：
（1）单线段最值问题
（2）两条线段之和的最值
（3）线段之差绝对值的最值
（4）三条线段之和的最值问题
（5）三角形周长最值
二、理论依据
（1）垂线段最短
（2）两点之间线段最短
（3）点关于线对称
（4）线段的平移
（5）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（6）二次函数的最值问题
三、例题详解
3.1、单线段最值问题
原理：垂线段最短
例1、已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
解得抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．
又∵t≠2，
∴不存在．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
3.2、两条线段之和的最值
原理：两点之间线段最短、对称性
例2、如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
3.3、线段之差绝对值的最值
原理：三角形两边之差小于第三边、对称性
例3、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA＝5，AB＝10，OC＝12，抛物线y＝ax2+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）问在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得|MO﹣MB|的值最大？若存在，直接写出最大值和点M的坐标；若不存在，请说明理由．
