怎样证明直线与平面平行的判定定理(直线与平面平行的判定定理的证明)

怎样证明直线与平面平行的判定定理(直线与平面平行的判定定理的证明)

首页维修大全综合更新时间:2024-02-13 00:02:19

怎样证明直线与平面平行的判定定理

直线与平面平行的判定定理如下:

一个直线与一个平面平行,当且仅当这个直线上有一点,在这个点有一条直线在这个平面内,且这个点到这个直线的距离在这个平面内。

证明如下:

先证明必要性,即如果一条直线 L 和一个平面 P 平行,那么在 L 上任取一点 M,在 P 上作以 M 为起点的一条垂线,记为MN。由于 L 与 P 平行,所以 MN 也在平面 P 内,且 M 到 L 的距离等于 MN 的长度,故 M 到 P 的距离也等于 MN 的长度,因此这个点到这个直线的距离在这个平面内。

然后证明充分性,即如果在直线 L 上有一点 M,在点 M 处有一条直线 MN 在平面 P 内,且 M 到 L 的距离 d 在平面 P 内,那么可以假设直线 L 不与平面 P 平行。那么 L 与 P 一定有交点,设为点 Q。则 MQ 是平面 P 内的一条直线,所以 MQ 与 MN 互相垂直,并且 L 与 MQ 也互相垂直。因此,QM 为 MN 的高,且 QM 小于 d,这就与 M 到 L 的距离 d 在平面 P 内相悖,因此假设不成立。故直线 L 与平面 P 平行。 

证毕。

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