在平面三角形中: 费马点
(1).三内角皆小于 120°的三角形, 三内角皆小于 的三角形, 为边, 的三角形 分别以 AB,BC,CA, , 为边, 向三角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1, 然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求的费马点 则三线交于一点 则点 就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求 若三角形有一内角大于或等于 则此钝角的顶点就是所求. 则此钝角的顶。
1、 费马点一定不在三角形外(证明略)
2、 当有一个内角大于或等于 120°时 对三角形内任一点 P 延长 BA 至 C'使得 AC=AC',做∠C'AP'=∠CAP,并且使得 AP'=AP, PC'=PC,(说了这么多, 其实就是把三角形 APC 以 A 为中心做了个旋转) 则△APC ≌△AP'C' ∵∠BAC ≥ 120° ∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60° ∴等腰三角形 PAP'中,AP ≥ PP' ∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC ∴点 A 即费马点 费马点 的两证明方法 费马点,就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候,费马点就是这个内角的顶 点;如果三个内角都在 120 度以内,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶 点的连线两两夹角为 120 度的点。
