定理如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线),那么它的三对对边的交点在同一条直线上。证明设ABCDEF是圆锥曲线刃的内接六边形,对边AB和DE交于X,对边BC和EF交于y,对边CD和AF交于z,则x、y、z在一条直线上。
第一步:利用射影变换,可以将命题从关于圆锥曲线力变为关于圆0的命题。
第二步:过圆0的圆心作圆所在平面的垂线,在垂线上取一点S,以S为顶点,圆D为底面作圆锥。
注意到SXY确定一个平面,用与平面SXY平行的平面截圆锥,则构造成功一个以S为透射中心的中心射影,这个中心射影将圆O变为椭圆多,将直线XY变为无穷远直线。
于是,命题转化为:设ABCDEF是椭圆的内接六边形,对边AB平行DE,对边BC平行EF,则CD平行AF。
第三步:利用透视中心为无穷远点的中心射影(仿射变换)将椭圆变为圆,而透视中心为无穷远点时,中心射影保持平行性,即证。