引入复数最朴素的物理意义就是多了一个自由度，必须用复数处理的问题就好比三维问题不能用二维去处理. 也有些二维问题，用三维处理更方便.
当然不是说自由度是可以随便引入的，你引入的自由度必须能通过某种运算倒腾回实数自由度上，比如i^2=-1，如果是四元素，那就是ijk=-1. 如果引入的自由度无法通过任何运算回到实数自由度，说明引入的自由度根本无法对原自由度产生任何作用，那么就根本没必要引入了，这就好比理想气体模型，每个理想气体分子有三个自由度，但各个分子之间无相互作用，甲分子的三个自由度和乙分子的三个自由度完全无关，因此理想气体模型只能用于气体相互作用可以忽略的情况（当然也不考虑分子转动震动自由度，化学反应以及激发态）.
另外，类似复数和四元素这种数学结构，其实都对应着特殊的群结构，而有限单群的结构是有限的，所以也不可能存在无穷多种自由度的引入方式，不是你想来个五元素六元素七元素，就一定能有相应的数学结构的.
复数的物理应用分三方面。①物理学中为简化求解数学方程而出现的变换复数。例如求解正弦交流电路，如果在实数域中展开运算就需要解微分方程，得到电路暂态和稳态的全响应，但是解微分方程很繁琐复杂。如果只需求稳态响应，即可将正弦交流电的从时域变换到频域(相量域、复数域)，关于KCL和KVL的微分方程即转为复代数方程，给运算带来极大方便。还有拉氏变换很多情况下也是为了求解方程的简便。②物理学中因需要调换变量来研究信号运动规律而出现的变换复数。例如傅氏变换会出现复数函数，已知一个信号函数为f(t)，人们想知道这个信号中包含的频率ω，即以频率ω为自变量f(t)对应的函数F(ω)＝？一个信号f(t)对应的频谱函数F(ω)在通信工程中有很多实践应用，复频率是理论计算中出现的物理量，回到实践测量中仍然是实数频率。③物理学中的原始复数。量子力学的基本假设中存在复数，比如薛定谔方程就是带有虚数单位ⅰ的二阶偏微分方程，还有能量算符、动量算符、角动量算符等。这些复数不是因数学变换出现的，而是在量子力学公理化逻辑系统的逻辑起点出现的，反映了宇宙中微观世界的一些固有性质。
