单调有界函数一定收敛（函数单调有界和收敛的关系）

不是所有的单调有界函数都一定收敛。在实数轴上，一个单调递增（或递减）且有上界（或下界）的函数并不一定收敛。例如，考虑函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0, π] 上，它是单调递增的且有上界（上界为1），但它在该区间上不收敛，因为它在 [0, π] 上周期性振荡。

然而，如果一个函数是单调递增（或递减）且有界的，并且定义域为闭区间 [a, b]，那么根据确界性质，这个函数一定收敛。具体来说，如果一个函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上是单调递增的，那么它一定有上确界（supremum），而如果 f(x) 在闭区间 [a, b] 上是单调递减的，那么它一定有下确界（infimum）。在这种情况下，该函数在 [a, b] 上一定收敛。

所以，单调有界函数在特定条件下可以保证收敛，但不是所有的单调有界函数都一定收敛，具体取决于函数的定义域和性质。