口诀就是:加上个位添个零,再加个位两相乘.
例如,心算16×18的过程是这样滴:
乘数16加上另一个乘数的个位数8,即16+8=24,在和24的后面添个0得240;
把240再加上个位数6、8的乘积48,得240+48=288.整个计算过程是:
16+8=24,24×10=240,
6×8=48,
把两次所得结果相加,得240+48=288.
即16×18=288.
这样计算的依据是什么呢?下面我们用整式乘法的知识来揭开其中的秘密.
设11~19两位数中被乘数的个位数为a,乘数的个位数为b,则这样的两个数相乘就是:
(10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab=[(10+a)+b]×10+ab.
结果表明:11~19两位数(10+a)×(10+b),用被乘数(10+a)加上乘数的个位数b,所得的和[(10+a)+b]再乘以10(即在和的后面添个0),最后再加上被乘数的个位数a与乘数的个位数b的积ab.
事实上,从(10+a)(10+b)= 10(a+b)+ab+100我们还可以发现一种新的心算方法:个位相加添个零,再加个位两相乘,最后百位再加1.
例如:心算14×19,"个位相加添个零",个位相加得13,添个零,得130,"再加个位相乘积",个位相乘得36,得130+36=166,"最后百位数1再加上1",得266.即14×19=266.
又如,心算19×19过程如下:
9+9=18→180;
9×9=81,
180+81=261→361.
所以19×19=361.
下面我们再把这个口诀推广到十位数相同的两位数相乘:
设十位数为n,个位数分别为a、b,则
(10n+a)(10n+b)
=100n2+10n(a+b)+ab。
至此我们可以发现一个计算口诀为:十位平方添俩零,个位相加几十乘,最后再把个位乘。
这里的“几十乘”是指十位数是几就乘以几十。比如十位数是8,就乘以80.
例如,心算37×32,口诀心算如下:
3的平方得9,添俩零得900;
7+2=9,9×30=270;
7×2=14;
把三次所得结果相加,得900+270+14=1184.
即37×32=1184.
如果把(10n+a)(10n+b)=100n2+10n(a+b)+ab变形为:
10n[(10n+a)+b]+ab,
则又可以得到一个与十位数为1的两位数相乘类似的口诀如下:
加上个位几十乘,再加个位两相乘.
例如,心算37×32,口诀计算如下:
被乘数37加上乘数的个位数2,得37+2=39,再乘以30,得39×30=1170;
个位数7和2相乘,得7×2=14;
1170+14=1184。
即37×32=1184.
又如,心算64×66过程如下:
64+6=70,70×60=4200;
4×6=24;
把两次所得结果相加,得4200+24=4224.
所以64×66=4224.
以上口诀可以推广到任意两个两位数相乘:
由于(10m+a)(10n+b)=100mn+10(an+bm)+ab,
所以可得两位数乘以两位数的口诀为:
十位相乘添俩零,内外相乘和添零,再加个位两相乘。
这里的"内外相乘"指的是被乘数的十位数与乘数的个位数相乘,乘数的十位数与被乘数的个位数相乘。例如35×76,"内"指的是5和7,"外"指的是3和6。
用竖式表示这两位相乘可以更直观看出口诀的含义。
例如,心算29×83,口诀计算如下:
十位数2乘以十位数8,得2×8=16,添俩零,得1600;
内外相乘求和,得9×8+2×3=78,添个零,得780;
个位相乘,得9×3=27;
把三次所得结果相加,得1600+780+27=2307,
所以29×83=2307.
再如,心算:81×97过程如下:
8×9=72→7200;
1×9+8×7=65→650;
1×7=7;
把三次所得结果相加,得7200+650+7=7857.