平方和的公式是如何推导出来的(平方和公式推导的几种方法)

平方和的公式是如何推导出来的(平方和公式推导的几种方法)

首页维修大全综合更新时间:2024-04-16 03:49:31

平方和的公式是如何推导出来的

第一,数学归纳法

证明:

当n=1时,左式=1²=1

右式=1*(1+1)(2*1+1)/6=1*2*3/6=1

所以,当n=1时,等式成立。

假设当n=k时,等式也成立,那么:

1²+2²+……+k²=k(k+1)(2k+1)/6

则,当n=k+1时,左式

=1²+2²+……+k²+(k+1)²

=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²

=(k+1)*[(2k²+k)/6+(k+1)]

=(k+1)*(2k²+k+6k+6)/6

=[(k+1)/6]*(2k²+7k+6)

=[(k+1)/6]*(2k+3)(k+2)

=[(k+1)*(k+2)*(2k+3)]/6

={(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+1]}/6

所以,当n=k+1时,等式也成立

综上: 1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6

第二,立方差公式作差累加法

证明:n³-(n-1)³=1×[n²+n(n-1)+(n-1)²]=3n²-3n+1

1³-0³=3×1²-3×1+1

2³-1³=3×2²-3×2+1

3³-2³=3×3²-3×3+1

……

n³-(n-1)³=3n²-3n+1

各等式全相加

n³=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3(1+2+3+4+…+n)+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-3n(n+1)/2+n

=3×(1²+2²+3²+…+n²)-n(3n+1)/2

故1²+2²+3²+…+n²=[n³+n(3n+1)/2]/3=n(n+1)(2n+1)/6

第三,

第四 ,函数法

设f﹙n﹚=an³﹢bn²﹢cn﹢d

∴d=f﹙0﹚=0 a+b+c+d=f﹙1﹚=1 8a+4b+2c+d=f﹙2﹚=5 27a+9b+3c+d=f﹙3﹚=14

∴a=1/3 b=1/2 c=1/6 d=0

∴f﹙n﹚=﹙1/3﹚n³﹢﹙1/2﹚n²﹢﹙1/6﹚n=n(n+1)(2n+1)/6

大家还看了
也许喜欢
更多栏目

© 2021 3dmxku.com,All Rights Reserved.