数列不动点定理，也称为Banach不动点定理，是泛函分析中的一个重要定理。以下是不动点定理的一个常见证明，称为压缩映射原理的证明：
假设给定数列 {a_n}，并假设存在一个连续函数 f(x) 来定义映射。
证明分为两个步骤：
步骤一：压缩映射
1. 假设映射 f(x) 是一个压缩映射，即存在一个常数 L (0 < L < 1)，对于所有的 x 和 y，有：
|f(x) - f(y)| ≤ L|x - y|
步骤二：不动点
2. 证明存在一个不动点 x0，即 f(x0) = x0。
证明过程如下：
步骤一：
1. 取 a1 为初始点。
2. 通过递推，定义数列 {a_n} 为：
a_(n+1) = f(a_n)
3. 根据压缩映射的定义，我们可以得到：
|a_(n+1) - a_n| ≤ L|a_n - a_(n-1)|
≤ L^n|a_1 - a_0|
≤ L^n M
其中，M = max{|a_1 - a_0|, |a_2 - a_1|, ...}。
4. 又因为 L < 1，所以 L^n 会趋近于 0，即 |a_(n+1) - a_n| 会趋近于 0。意味着数列 {a_n} 是一个柯西序列（Cauchy Sequence）。
步骤二：
5. 由于我们假设 f(x) 是一个连续函数，那么可以证明：当 n 趋向于无穷大时，数列 {a_n} 的极限存在。即存在一个极限值 x0，即 a_n 收敛于 x0。
6. 由压缩映射的定义，我们得到：
a_(n+1) = f(a_n)
当 n 趋向于无穷大时，上式可以写为：
x0 = f(x0)
这意味着 x0 是 f(x) 的一个不动点。
综上所述，通过压缩映射的性质和极限的存在性，证明了数列存在一个不动点 x0。
这是一个简单的不动点定理证明的大致框架，具体的证明细节和假设条件可能会根据具体情况有所不同。在正式的数学理论中，需要更加严谨和详细的推导和证明过程，并且可能会涉及额外的定义和定理。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
我还是给几个具体的例子吧：
1。已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项
a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.
将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)
原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
2。An =2/A(n-1)+A(n-1)/2
求An通项
解：利用不动点来求通项:
设f（x）=2/x+x/2
当f（x）=x时
x=-2，2，此点为不动点
An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1)
An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1)
两式相除
An-2 =[A(n-1)-2]^2
—— ——————
An+2 [A(n-1)+2]^2
发现规律了吗？
此时再设{Bn}=（An-2）/(An+2 )
B1=（4-2）/(4+2)=1/3
递推式为：Bn =B（n-1）^2
所以Bn=（1/3)^[2^(n-1)]
由Bn通项和An通项的关系
解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} /
{1-（1/3)^[2^(n-1)] }
自己化简试一下吧
补充一下：不动点大多用于极限过程。如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式，微分方程初值问题解的存在唯一性定理，都是利用不动点理论证明的。
可以参看任何一本组合数学的书。由于数列是分式线性变换的迭代，可以和二阶矩阵的乘幂对应，所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解，都是类似的想法。——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长，建议你去查书，组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分。
