正多边形的面积公式：
其中t是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。
内角：正n边形的内角和度数为： （n－2)×180°;正n边形的一个内角是 (n-2)×180°÷n。
外角：正n边形外角和等于n·180°－（n－2)·180°=360°,所以正n边形的一个 外角为： 360°÷n。
所以正n边形的一个 内角也可以用这个公式： 180°-360°÷n。
S=1/2nR²sinφ=nr²tanφ/2。(R为正多边形外接圆半径，r为正多边形内切圆半径，φ为各边所对圆心角)。
正n边形，具有n(正整数n≥3)条相等边的正多边形，其内角和为180(n-2)°，每个内角度数为180°（n-2）/n，外角和为360°。正n边形都是轴对称图形；当正n边形的n为偶数时是中心对称图形。
设正边形的面积为S，则，S=(1/2)nR^2*sina=nr^2tan(a/2)式中，n--边数，R--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，a--一边所对的圆心角(以度计)。
证明也很简单。
正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数
三角形的面积加起来就是正n边形的面积
现证明如下。
(1) 设正n边形的边长为AB,O为三角形外接圆心(内切圆与之同心)，
连接OA、OB,得一三角形AOB，其面积为:S'AOB
则，S'△AOB=(1/2)*AB*Rcos(a/2)
且，AB/2=Rsin(a/2),即AB=2Rsin(a/2)
故，S'△AOB=(1/2)*2R^2sin(a/2)cos(a/2)
S'△AOB=(1/2)R^2sina
正n边形的面积S=n*SΛAOB
故，S=(1/2)nR^2sina
(2)再证以内切圆半径r和圆心角a表示的正多边形的面积S
证:天r是圆0的外切正多边形的边心距，也是△AOB的AB上的高(r)
S"△A0B=(1/2)*AB*r
此时 ，AB/2=rtan(a/2),故AB=2rtan(a/2)
S"△AOB=(1/2)*2r^2tan(a/2)=r^2*tan(a/2)
故，正n边形的面积S=n*S"△A0B=nr^2*tan(a/2)
