当谈论有理数时，我们指的是所有整数（包括正整数、负整数和零）以及所有可以表示为两个整数的比的数。以下是有关有理数的主要知识点总结：
### 1. **定义：**
有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子可以是整数，分母不能为零。
### 2. **表示：**
有理数可以用分数形式表示（如 3/4或小数形式表示（如 0.75）。有理数包括整数、正整数、负整数、零以及各种分数。
### 3. **性质：**
- **加法性质：** 有理数的加法满足交换律和结合律。即，对于任意有理数 a 、b 和 c ，有 a + b = b + a 和 (a + b) + c = a + (b + c) 。
- **乘法性质：** 有理数的乘法满足交换律和结合律。即，对于任意有理数 a 、 b 和 c ，有 a x b = b x a 和 a x b x c = a x (b x c) 。
- **分配性质：** 乘法对加法具有分配性。即，对于任意有理数 a 、b 和 c ，有 a x (b + c) = a x b + a x c 。
### 4. **比较与排序：**
有理数可以通过大小进行比较。比较两个有理数大小时，可以将它们转换为相同分母的分数形式，然后比较分子的大小。
### 5. **绝对值：**
有理数 a 的绝对值，表示为 |a| ，是 a 到原点的距离。对于正数，它的绝对值是它本身；对于负数，它的绝对值是它的相反数。
### 6. **有理数的运算：**
- **加法和减法：** 有理数的加法和减法遵循相同符号加减不同符号减的规则。
- **乘法和除法：** 有理数的乘法和除法遵循相同符号得正不同符号得负的规则。要注意除法时，被除数不能为零。
### 7. **小数和分数的相互转化：**
有理数可以表示为分数或小数。分数可以转化为小数，也可以将小数转化为分数。
### 8. **实际应用：**
有理数在日常生活和数学问题中广泛应用，例如表示金钱、测量、分数运算等。
有理数是数学中基本且重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
1、正数和负数
（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数
(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 p不是有理数；
(2)有理数的分类:
(3)
3、数轴【重点】
（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求：
① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…
（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
4、相反数
（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
① 注意：a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b；
② 非零数的相反数的商为-1；
③ 相反数的绝对值相等。
（2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。
（3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。
（4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。
（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。
（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120
5、绝对值
（1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作a。
（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；）。0是绝对值最小的数。
（5）、任何数的绝对值总是非负数（非负数是正数或0），即a≥0。
（6）、互为相反数的两个数的绝对值相等。绝对值相等的两个数可能是互为相反数或者相等。
（7）、有理数比大小：
① 正数比0大，0大于负数，正数大于负数；
② 两个负数比较，绝对值大的反而小；
③ 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；
（8）、比较两个负数的大小的步骤如下：
① 先求出两个数负数的绝对值；
② 比较两个绝对值的大小；
③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
1、有理数的加法
（1）、有理数加法法则：
① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
③ 一个数与0相加，仍得这个数.
（2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。
（3）、有理数加法的运算律：
① 加法的交换律：a+b=b+a；
② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
（4）、为了计算简便 ，往往会采取以下方法：
①互为相反的两个数，可以先相加；
②符号相同的数，可以先相加；
③分母相同的数，可以先相加；
④几个数相加能得到整数，可以先相加。
2、有理数的减法
（1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.（有理数减法运算时注意两“变”：①减法变加法；②把减数变为它的相反数.）
注：有理数的减法实质就是把减法变加法。
3、有理数的乘法
（1）、有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数同零相乘都得零；
（2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。
（3）、乘积为1的两个数互为倒数；
注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。
（4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。
（5）、有理数乘法的运算律：
① 乘法的交换律：ab=ba；
② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；
③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.
4、有理数的除法
（1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
（2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
（3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。
5、有理数的乘方
（1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a叫做底数，n叫做指数。
（2）、an表示的意义是n个a相乘。如：2³=2×2×2=8
（3）、分数的乘方，在书写时一定要把整个分数用小括号括起来。如：（1/2）²
（4）、负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。
（5）、10的几次方，幂的结果中1后面就有几个0。如：105 =100000
（6）、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。1的任何次幂都是1。-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1。
6、科学记数法
（1）、把一个大于10数表示成a×10n 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，而且 1≤︱a︱＜10，n是正整数），使用的是科学计数法。
（2）、用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1。
例：240 000 000用科学计数法记为2.4×108
7、近似数
（1）、接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。
（2）、精确度：近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示。
（3）、利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（4）、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
（5）、解题技巧：①近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位。
②当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数。
（6）、a×10n中有效数字是指a的有效数字。
7、等于本身的数汇总：
① 相反数等于本身的数：0
② 倒数等于本身的数：1，-1
③ 绝对值等于本身的数：正数和0
④ 平方等于本身的数：0,1
⑤ 立方等于本身的数：0,1，-1.
