怎么证明直角三角形斜边中点定理(如何证明直角三角形斜边中线定理)

怎么证明直角三角形斜边中点定理(如何证明直角三角形斜边中线定理)

首页维修大全综合更新时间:2024-04-09 09:32:02

怎么证明直角三角形斜边中点定理

如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知三角形ABC,D为斜边BC上的中点。取AC的中点E,连接DE。∵AD是斜边BC的中线∴BD=CD=1/2BC∵E是AC的中点∴DE是△ABC的中位线∴DE//AB(三角形的中位线平行于底边)∴∠DEC=∠BAC=90°(两直线平行,同位角相等)∴DE垂直平分AC∴AD=CD=1/2BC。

直角三角形斜边中线定理的逆定理:如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,且这条边为直角三角形的斜边。证明方法:以该条边的中点为圆心,以中线长为半径作圆,则该边成为圆的直径,该三角形的另一个顶点在圆上,该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角,所以该命题成立。

直角三角形斜边中点定理,也称勾股中线定理,是指在一个直角三角形中,斜边中线的长度等于斜边的一半。证明如下:

设直角三角形ABC,其中∠C为直角,D为斜边AB上的中点,则有:

AC²=AD²+DC² (勾股定理)

BC²=BD²+DC² (勾股定理)

将两式相加,有:

AC²+BC²=AD²+BD²+2DC²

因为AD=BD=AB/2(D为AB的中点),代入有:

AC²+BC²=2AB²/4+2DC²

化简得:

AC²+BC²=AB²+DC²

由于AB=2DC(D为AB的中点),代入有:

AC²+BC²=4DC²+DC²

化简后得:

AC²+BC²=5DC²

即:

AC²=5DC²/2 或者 DC=AC/√5

因此,斜边AB的中线DC的长度等于斜边的一半,也就是DC=AB/2。

因此,证毕。

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