平均数的定义
对于实数序列：
定义：
算术平均数（arithmetic mean）：
几何平均数（geometric mean）：
另外，还可以定义：
调和平均数（harmonic mean）：
平方平均数（quadratic mean）：
更一般地，可定义 p 次均值函数 （p 取值于广义实数集 R ∪ {-∞, +∞}）：
并且，令：
显然，有：
可以证明（证明略）， M_n(p) 是一个单调递增函数，即，对于 任意 有：
于是，自然有：
平均数的几何意义
当 n = 2 并且 a₁, a₂ ≥ 0 时，四个平均数有下图的关系：
其中，AB = a₁， BC = a₂, O 是圆心 AC 是直径。
首先，A₂ = (a₁ + a₂) / 2 = AC / 2 就是圆的 半径，而 O 是圆心，E 是圆上一点，故 线段 OE 是 圆的半径，于是 OE = A₂；
其次，因为 Δ ADC、Δ ABD、Δ DBC 都是 直角三角形，根据勾股定理，有：
(a₁ + a₂)² = AD² + DC²
DB² + a₁² = AD²
DB² + a₂² = DC²
将后两个等式带入前一个等式得到：
(a₁ + a₂)² = 2DB² + a₁² + a₂²
2DB² = 2a₁a₂
DB = √[a₁a₂]
于是得到 DB = G₂；
其三，OB = OC - BC = (a₁ + a₂) / 2 - a₂ = (a₁ - a₂) / 2，而 ΔEOB 是直角三角形，根据勾股定理，有：
EB² = OE² + OB² = ((a₁ + a₂) / 2)² + ((a₁ - a₂) / 2)² = (a₁² + a₂²) / 2
于是有 EB = √[ (a₁² + a₂²) / 2] = Q₂；
最后，因为 ΔOFB 和 ΔDFB 是直角三角形，根据勾股定理，有：
OF² + FB² = OB²
DF² + FB² = DB²
两等式相减得到：
OF² - DF² = OB² - DB²
而 圆的半径 OD = OF + DF，于是 OF = OD - DF，将其代入上式，得到：
(OD - DF)² - DF² = OB² - DB²
OD² - 2OD·DF = OB² - DB²
DF = (OD² - OB² + DB²) / (2OD) = [((a₁ + a₂) / 2)² - ((a₁ - a₂) / 2)² + a₁a₂] / (a₁ + a₂) = (2a₁a₂) / (a₁ + a₂) = 2/(1/a₁ + 1/a₂)
于是得到 DF = H₂。
（上面的证明 很随意！印象中，初中的平面几何中有更好的公式，可以让证明的更优雅和简洁。）
这四个几何关系中的 A₂、G₂、H₂ 最早由古希腊的毕达哥拉斯学派发现，因此 它们合称 毕达哥拉斯平均数。
平均数的使用
首先，算术平均数 适合于 线性数列（或 对称分布的数列），比如，等差数列：
有：
对于具体的等差数列：1, 3, 5, 7来说，有：A₄ = 1 + (4-1)/2×2 = 4
对于数列的下标：1, 2, 3, 4也是等差数列，于是有：
A₄ = 1 + （4-1)/2×1 = 2.5
以下标为X轴，以数列为Y轴，可绘制下图：
我们会发现，算术平均数落在 数列的 回归线上。
给定 一组实数，将其从小到大排列：
当有奇数个数，取中间那个数；
当有偶数个数，取中间两个数的算术平均值；
称这个数为 中位数（median）。
对于 1, 3, 5, 7，中位数就是 (3+5) / 2 = 4，对于 1, 2, 3, 4，中位数就是 (2+3) / 2 = 2.5，显然 对于等比数列，算术平均数 就是中位数。
然后，几何平均数 适合 比例关系的 数列，比如，等比数列：
有：
对于具体的等比数列：2, 4, 8, 16来说，有：G₄ = 2√[2⁴⁻¹] = 4√2
当然，也可以求得，算术平均数：
A₄ = (2 + 4 + 8 + 16)/4 = 7.5
m₄ = (4+8)/2 = 6
可绘制下图：
可以看出，几何平均数 G₄ 刚出落在 回归线上，中位数 m₄ 落在 4 和 8 点的连线中点上，和 几何平均数 G₄ 比较接近，而 算术平均数 A₄ 就误差很大了。
最后，调和平均数 适用于 具有反比性质的 数列，比如，速度序列：
将 一整段路程 n 等分，测量得到汽车每段的速度平均速度分别为：
求整段路的总平均速度。
不妨设 每段路程的 距离 为 r, 于是 每段路程所花费的时间为：
进而所求的总平均速度为：
而速度序列的调和平均数为：
于是 速度序列的调和平均数 就是 总平均速度。
另外，算术平均数 还是 非常 重要的统计量，其对应，随机变量 X 的数学期望（均值）：
因此，它在数理统计中被广泛使用。
加权平均数
以上的平均数都是默认 数列中的所有元素同等重要。当需要体现元素的不同重要程度时就需要进行加权。加权一般用于算术平均数，加权（算术）平均数定义如下：
加权也可以用于几何平均数，定义如下：
（以上只简要的介绍了通用的平均数，而在不同领域，因为不同需求，还有各种特殊的平均数，例如：金融领域的 指数平均数。）
（本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师批评指正。）
