等比数列求和公式两种推导过程(等比数列的求和公式快速推导过程)

等比数列求和公式两种推导过程(等比数列的求和公式快速推导过程)

首页维修大全综合更新时间:2024-06-07 17:33:37

等比数列求和公式两种推导过程

求和公式:sn=a(1-q的n次方)/(1-q)。

设数列和sn=a+aq+aq平方+……+aq的(n-1)次方,

两边同乘q,得:qsn=aq+aq平方+……+a的(n-1)次方+aq的n次方,

两式相减,得:(1-q)sn=a(1-q的n次方),

所以:sn=a(1-q的n次方)/(1-q)。

一、等比数列求和公式推导

由等比数列定义 

a2=a1*q 

a3=a2*q 

a(n-1)=a(n-2)*q 

an=a(n-1)*q 共n-1个等式两边分别相加得 

a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q 

即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即(1-q)Sn=a1-an*q 

当q≠1时,Sn=(a1-an*q)/(1-q) (n≥2) 

当n=1时也成立.

当q=1时Sn=n*a1 

所以Sn= n*a1(q=1) ;(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)。

二、等比数列求和公式推导

错位相减法

Sn=a1+a2 +a3 +...+an

Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q

以上两式相减得(1-q)*Sn=a1-an*q

三、等比数列求和公式推导

数学归纳法

证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1·q0=a1,等式成立;

(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即ak=a1qk-1;

当n=k+1时,ak+1=ak·q=a1qk=a1·q(k+1)-1;

这就是说,当n=k+1时,等式也成立;

由(1)(2)可以判断,等式对一切n∈N*都成立。

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