欧拉等式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)的证明可以通过将e^(ix)展开成泰勒级数，将正弦和余弦函数的级数表示式分离出来，然后重新组合而得到。这涉及到三角函数的定义、幂级数的性质及其在复平面中的图像表示，需要对数学分析、复变函数等领域有一定的掌握。
欧拉等式是数学中非常著名的等式，可以通过泰勒级数展开和指数函数的定义来进行微分的证明。欧拉等式的表达式为：
[e^{i heta} = cos( heta) + isin( heta)]
证明如下：
首先，我们知道指数函数的定义式为：
[e^x = 1 + x + frac{{x^2}}{2!} + frac{{x^3}}{3!} + frac{{x^4}}{4!} + ldots]
将 (x) 替换为 (i heta)，得到：
[e^{i heta} = 1 + i heta - frac{{ heta^2}}{2!} - frac{{i heta^3}}{3!} + frac{{ heta^4}}{4!} + ldots]
然后，根据三角函数的泰勒展开式：
[cos( heta) = 1 - frac{{ heta^2}}{2!} + frac{{ heta^4}}{4!} - frac{{ heta^6}}{6!} + ldots]
[sin( heta) = heta - frac{{ heta^3}}{3!} + frac{{ heta^5}}{5!} - frac{{ heta^7}}{7!} + ldots]
将 (cos( heta)) 和 (sin( heta)) 的展开式代入 (e^{i heta})，可以得到：
[e^{i heta} = cos( heta) + isin( heta)]
这样就完成了欧拉等式的微分证明。
