分割，近似，求和，求极限。
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
中文名
定积分
外文名
definite integral
学科
数学
本质
积分
释义
积分和的极限
一、定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 ：
定积分定义的四要素：分割；作积；求和；取极限 2. 可积的两个充分条件
① 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积．
② 设)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在[]b a ,上可积． 3. 几何意义 4．定积分的性质 ①反号性：
??
-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(
②与积分变量无关性：?
b
a
dx x f )(?=b a
ds s f )(?=b
a
dt t f )(．
③线性性质：
=±?
b
a
dx x g k x f k )]()([21±?b
a
dx x f k )(1?b
a
dx x g k )(2．
④对区间可加性：?
b
a
dx x f )(+
=?c
a
dx x f )(?
b c
dx x f )(．
⑤区间长：
a b dx dx b a
b
a
-==?
?
1．
⑥保号性：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则
0)(≥?
b a
dx x f )(b a <．
⑦单调性：如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则 ?
b
a
dx x f )(?≤b
a
dx x g )( )(b a <．
推论： 在区间[]b a ,上，
dx x f dx x f b
a
b
a
??
≤)()(．
⑧估值定理：设M 和m 分别是函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和最小值，则
?-≤≤-b
a
a b M dx x f a b m )()()( )(b a <．
⑨ 定积分中值定理：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点ξ[]b a ,∈，使
?
b
a
dx x f )())((a b f -=ξ成立．
注意 ξ是区间[]b a ,上必定存在的某点，个数可能为一个，也可能为两个或更多．
推广：若函数)(x f 在区间[]b a ,连续，函数)(x g 在区间[]b a ,上可积且不变号，则在[]b a ,上至少存在一点c ，使
?
b
a
dx x g x f )()(?=b
a
dx x g c f )()(成立
