直角坐标系和参数方程描述了同一个几何图形，它们之间的转换可以用以下步骤：
1. 将直角坐标系方程转换为参数方程
选取准线和焦点，设准线与 x 轴正半轴的夹角为 θ，距离原点的距离为 p，焦点为 F(p, 0)。则对于椭圆，直角坐标系方程为：
```
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1
```
令 x = a cosθ，y = b sinθ，代入上式中可得
```
cos^2θ / a^2 + sin^2θ / b^2 = 1
```
整理得
```
a * cosθ = p + x
b * sinθ = y
```
将梯度 tanθ = b/a 带入式子中得到
```
p = a / cosθ
```
因此，将直角坐标系转换为参数方程即为
```
x = a cosθ + a^2 / p
y = b sinθ
```
对于另一种椭圆的方程 (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，我们可以将其移项，得到类似的推导式，只不过需要先进行平移。
2. 将参数方程转换为直角坐标系方程
以椭圆为例，将 x = a cos(t), y = b sin(t) 代入椭圆的标准方程：
```
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1
```
可得到
```
(a cos(t) - h)^2 / a^2 + (b sin(t) - k)^2 / b^2 = 1
```
将此式化简即可得到椭圆的直角坐标系方程。
需要注意的是，转换过程中需要引入辅助量，不能简单地将参数方程代入直角坐标系方程中，否则可能会得到错误的结果。
将直角坐标方程转换为参数方程的方法如下：
1. 设$x=t$，则$y=f(t)$，其中$f(t)$是参数$t$的函数。
2. 解出$f(t)$：
将$x=t$带入直角坐标方程得到$y=f(t)=sqrt{k-t^2}$（如果是$x=-t$，则$y=sqrt{k-t^2}$）
3. 将$t$替换为$cos heta$：
因为$cos^2 heta+sin^2 heta=1$，所以$sin heta=pmsqrt{1-cos^2 heta}$。
当$x=t=k^{frac{1}{2}}cos heta$时，$y=pmsqrt{k-t^2}=pmsqrt{k-kcos^2 heta}= pm k^{frac{1}{2}}sin heta$
当$x=-t=k^{frac{1}{2}}cos heta$时，$y=pmsqrt{k-t^2}=pmsqrt{k-kcos^2 heta}= mp k^{frac{1}{2}}sin heta$
因此，将直角坐标方程$x^2+y^2=k$转换为参数方程为：
$x=k^{frac{1}{2}}cos heta$
$y=pm k^{frac{1}{2}}sin heta$（当$x=t$时）
或
$x=k^{frac{1}{2}}cos heta$
$y=mp k^{frac{1}{2}}sin heta$（当$x=-t$时）
其中$t$可以表示为$k^{frac{1}{2}}cos heta$或$k^{frac{1}{2}}sin heta$。
