正三棱锥外接球半径内接球半径公式（正三棱锥外接球半径公式推导）

正三棱锥外接球与以该正三棱锥的棱为面对角线的正方体的外接球重合，设正三棱锥的棱长为a,则上述正方体的棱长为a/√2，正方体对角线长l=√3a/√2，外接球半径=l/2=√6a/4.正三棱锥体积V=正方体体积-4个直角三棱锥的通解=(1/3)(a/√2)^3=a^3/(6√2),正三棱锥-个面的面积S=√3a^2/4,所以正三棱锥的高h=3V/S=√6a/3,所以正三棱锥的内切球半径=h/4=√6a/12.