不用二重积分的，可以有简单的办法的。设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2，于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*） 积分区域是从负无穷到正无穷。
下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了。（1）求均值 对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开,再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式。
证明了均值就是u.(2)方差 过程和求均值是差不多的，对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。
正态分布的期望和方差可以通过其概率密度函数来求解。
设正态分布的概率密度函数为：
f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))
其中，μ为期望，σ为标准差。
则正态分布的期望为μ，方差为σ^2。
因此，如果已知正态分布的概率密度函数，就可以直接求出其期望和方差。
