正态分布的期望和方差怎么求(正态分布的期望和方差是什么)

正态分布的期望和方差怎么求(正态分布的期望和方差是什么)

首页维修大全综合更新时间:2024-06-18 15:46:54

正态分布的期望和方差怎么求

不用二重积分的,可以有简单的办法的。设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u,方差是t^2,于是:∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.(*) 积分区域是从负无穷到正无穷。

下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了。(1)求均值 对(*)式两边对u求导:∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得:∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开,再移项:∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式。

证明了均值就是u.(2)方差 过程和求均值是差不多的,对(*)式两边对t求导:∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项:∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式,从而结论得证。

正态分布的期望和方差可以通过其概率密度函数来求解。

设正态分布的概率密度函数为:

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))

其中,μ为期望,σ为标准差。

则正态分布的期望为μ,方差为σ^2。

因此,如果已知正态分布的概率密度函数,就可以直接求出其期望和方差。

大家还看了
也许喜欢
更多栏目

© 2021 3dmxku.com,All Rights Reserved.