全微分方程的判定（全微分方程的充要条件证明）

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).

根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.

例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程，并求其通解

（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,

P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,

δP/δy=12xy=δQ/δx,

所以这是全微分方程，

u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy

=x^3+3x^2y^2+y^4,

方程通解:x^3+3x^2y^2+y^4=C.