柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是一个在数学中常用的不等式，它有多种形式。假设有两个向量 ( mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n) ) 和 ( mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n) )，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：
1. **标准形式**：
[ left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i ight)^2 leq left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 ight) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 ight) ]
2. **向量内积形式**：
[ |mathbf{a} cdot mathbf{b}|^2 leq |mathbf{a}|^2 |mathbf{b}|^2 ]
其中，( mathbf{a} cdot mathbf{b} ) 表示向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} ) 的内积，( |mathbf{a}| ) 表示向量 ( mathbf{a} ) 的模。
3. **三角形形式**：
[ |a_1 b_2 - a_2 b_1| leq sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)} ]
这三种形式都是柯西-施瓦茨不等式的等价表达式，可以根据具体的问题选择使用其中的任意一种形式。
