二次型的标准型和特征值的关系（怎么判断二次型是不是规范型）

大家说得对，对称矩阵（二次型）正交变换后的得到是特征值。因为

1、相似对角变换是P^-1AP,合同对角变换是P'AP；

2、正交变换时P^-1=P',所以得到的对角阵既是合同的又是相似的；

3、相似对角阵里的对角线元素是特征值，因此二次型正交变换得到的对角线元素是特征值；

4、而配方法属于合同变换，（一般）不是正交变换；因此除正交变换外的其他合同变换如配方法 就得不到特征值了。

这并不一定，要看标准型是通过什么转换完成的。

如果是正交变换，那变换出来的系数是特征值。如果是配方法，那系数就不是特征值。

追问

配方法的系数有没有什么意义？

追答

要说意义的话，配方法转换要比正交转换简单，毕竟不需要求特征值和特征向量，只要保证转换矩阵可逆就行了。对于解题来说，如果题目没有明确要求使用正交法求标准型，那用配方法可以很快解出答案。

另外，配方法得出的标准型和正交法标准型有同样的规范型，这个特点在判断正负惯性指数时很有用，因为有些矩阵求特征值非常困难。