假设在二维平面内,有一个点A(x1, y1),和一条直线Ax + By + C = 0。
则点A到这条直线的最短距离d的计算公式为:
d = |Ax1 + By1 + C|/√(A2 + B2)
这里:
|Ax1 + By1 + C| 是点到直线的垂线的长度。
√(A2 + B2) 是直线的斜率。
所以点到直线距离公式可以写成:
d = |Ax1 + By1 + C|/√(A2 + B2)
其中,A,B,C是直线方程中的参数,x1,y1是点A的坐标。
这个公式利用了点到直线的距离等于点到直线垂线长度的原理来导出。
所以对于任意一条直线和一个点,都可以利用这个公式计算出点到直线的最短距离。这就是一个点到直线的最短距离的函数表达。
函数法
证：点P到直线上任意一点的距离的最小值就是点P到直线的距离。在上取任意点用两点的距离公式有，为了利用条件上式变形一下，配凑系数处理得：
当且仅当时取等号所以最小值就是
不等式法
证：点P到直线上任意一点Q的距离的最小值就是点P到直线的距离。由柯西不等式：
当且仅当时取等号所以最小值就是
转化法
证：设直线的倾斜角为过点P作PM∥轴交于M显然所以
易得∠MPQ=或∠MPQ=
在两种情况下都有所以
