绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值重要不等式推导过程：
我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0);
因此，有：
-|a|≤a≤|a|......①
-|b|≤b≤|b|......②
-|b|≤-b≤|b|......③
由①+②得：
-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|
即|a+b|≤|a|+|b|......④
由①+③得：
-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|
即|a-b|≤|a|+|b|......⑤
另：
|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|
|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|
由④知：
|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥
|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦
|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧
|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨
由⑥，⑦得：
| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩
由⑧，⑨得：
| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪
综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：
|a-b|=|a|+|b|→ab≤0
|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0
|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0
注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0
同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。
| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a| + |b|是由两个双边不等式组成。
一个是| |a|-|b| | ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同） |a+b| = |a| + |b|成立。当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，| |a|-|b| | = |a±b|成立。
另一个是| |a|-|b| | ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b| = |a| + |b|成立。当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，| |a|-|b| | = |a-b|成立。
| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|
