巧用公倍数
几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫作这几个数的最小公倍数。
自然数a，b的最小公倍数可以记作[a，b]，当(a、b)＝1时，[a，b]＝a×b。
两个数的最大公因数和最小公倍数的关系：最大公因数x最小公倍数＝两个数的乘积，即(a，b)×[a, b]=a×b
难题点拨①
一排电线杆，原来每相邻两根之间的距离是30米，现在改为45米。如果起点的一根电线杆不动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动?
解题分析：不需要移动的那一根电线杆距第一根电线杆的距离肯定是30的倍数，同时也应该是45的倍数，因为题中的问题是“至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动”，那么不需要移动的那一根电线杆距第一根电线杆的距离应该是30和45的最小公倍数。用短除法求出30和45的最小公倍数。
30和45的最小公倍数是5×3×2×3＝90。
所以，如果起点的一根电线杆不动，至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。
答：至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。
难题点拨②
人民公园是1路和3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车?
解题分析：因为1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次，所以这两路汽车同时发车后，要再同时发车，所经过的时间要既是3的倍数，又是5的倍数，即是3和5的最小公倍数。由于3和5互质，所以
3和5的最小公倍数是3×5＝15。
答：这两路汽车同时发车后，至少再过15分钟又同时发车。
难题点拨③
一对互相咬合的齿轮，大齿轮有78个齿，小齿轮有26个齿。大齿轮上的某一个齿与小齿轮上的某一个齿从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈?
解题分析：大、小两个齿轮是互相咬合转动的，两个齿轮在工作时转动齿的个数是相同的。从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮转动齿的个数既是78的倍数，又是26的倍数，即是78和26的最小公倍数。
因为78是26的倍数，所以78和26的最小公倍数是78。
即从第一次相遇到第二次相，两个齿轮各转了78个齿。
因此，大齿轮转了78÷78＝1(圈)，小齿轮转了78÷26＝3(圈)。
答：大齿轮转了1圈，小齿轮转了3圈。
难题点拨④
一包糖果，无论平均分给8个人，还是平均分给10个人，都能正好分完。这包糖果至少有多少块?如果把“正好分完”改成“都剩3块”，这包糖果至少有多少块?
解题分析：“一包糖果，无论平均分给8个人，还是平均分给10个人，都能正好分完”，说明这包糖果的块数既是8的倍数，又是10的倍数，因此，这包糖果的块数应该是8和10的公倍数。题中问“这包糖果至少有多少块”就是求8和10的最小公倍数。用短除法求出8和10的最小公倍数，8和10的最小公倍数是：2×4×5＝40
因此，这包糖果最少有40块。
如果把“正好分完”改成“都剩3块”，说明这包糖果的块数比8和10的最小公倍数多3，而8和10的最小公倍数是40，因此这包糖果就有40+3＝43(块)。
答：这包糖果至少有40块。如果把“正好分完”改成“都剩3块”，这包糖果至少有43块。
难题点拨⑤
五年级同学参加植树活动，人数在30～50人之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人?
解题分析：将全班人数分成3人一组、4人一组、6人一组或8人一组都恰好分完，说明全班人数是3的倍数、4的倍数、6的倍数和8的倍数，也就是3，4，6，8的公倍数。
3，4，6，8的最小公倍数是2×3×2×2＝24
3，4，6，8的最小公倍数是24，五年级的人数在30～50人之间，而30～50之间24的倍数是48。所以五年级参加植树活动的学生有48人。
答：五年级参加植树活动的学生有48人。
难题点拨⑥
一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米。要堆成正方体，至少需要这样的砖多少块?
解题分析：一堆长方体的砖块，最后要堆成一个大的正方体，很显然正方体的棱长是长方体长宽高的最小公倍数。用短除法求出20、12、6的最小公倍数，[20，12，6]＝60
所以正方体的棱长是60厘米
60÷20＝3块
60÷12＝5块
60÷6＝10块
一共需要长方体砖3×5×10＝150块
难题点拨⑦※
幼儿园老师给三组小朋友分饼干，如果只分给第一组，则每位小朋友可得饼干12块;如果只分给第二组，则每位小朋友可得饼干15块;如果只分给第三组，则每位小朋友可得饼干20块。那么把饼干平均分给三组小朋友，每位小朋友可得饼干多少块?
解题分析：饼干的总数是12、15、20的公倍数。由于不知道小朋友的总人数，所以可以用设未知数的方法来做。
设饼干总数为n，n应该是12，15和20的公倍数。
[12，15，20]＝2×2x3×5＝60
设n是60的m倍(m是整数)，即n＝60m。
这样，就可以求出三组小朋友的总数:
第一组小朋友:60m÷12＝5m
第二组小朋友:60m÷15＝4m
第三组小朋友:60m÷20＝3m
三组小朋友的总数:
5m+4m+3m=12m
所以，把饼干平均分给三组小朋友，每位小朋友可得饼干60m÷12m＝5(块)。
