120度角三条线段关系（120度角的比例关系）

若一个三边为整数的三角形的一个角为120°，则三边应满足如下关系

A=λ*（m^2-n^2）

B=λ*（2mn+n^2）

C=λ*（m^2+mn+n^2） C所对的角即为120°

简略证明：

每个三角形都有内切圆

所以三角形的三边可表示为x+y，y+z，x+z

不妨另C=x+z所对角为120°

根据余弦定理可得

（x+y）^2+（y+z）^2+（x+y）*（y+z）＝（x+z）^2

化简得到

3y^2+3xy+3zy-xz=0

所以

z=（3y^2+3xy）/（x-3y）

不妨再将三边扩大（x-3y）倍

得到

A=x^2-2xy-3y^2²

B=4xy

C=x^2+3y²

整理成关于x-y和y的式子

得到

A=（x-y）^2-4y^2

B=4（x-y）y+4y^2

C=（x-y）^2+2（x-y）y+4y^2

不妨设x-y=m，2y=n

代入得到

A=m^2-n^2

B=2mn+n^2

C=m^2+mn+n^2

若三边不互质，则再乘以λ即可