布朗运动的分布函数是高斯分布函数，也称为正态分布函数。它的数学表达式为f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))，其中μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。这个分布函数描述了在布朗运动过程中，随机粒子在任意时刻的位置的概率分布。它呈钟形曲线，以均值为中心对称，标准差越大，曲线越矮胖，越平滑。布朗运动的分布函数在统计学和物理学中有广泛的应用，用于描述随机过程中粒子位置的概率分布。
以下是我的回答，标准布朗运动的分布函数是正态分布函数，其均值为0，方差为时间t的函数。具体来说，标准布朗运动的分布函数可以表示为：
P(W_t leq x) = frac{1}{sqrt{2pi t}} int_{-infty}^{x} e^{-frac{u^2}{2t}} du
P(W
t
≤x)=
2πt
1
∫
−∞
x
e
−
2t
u
2
du
其中，
W_t
W
t
表示在时间t的标准布朗运动，
u
u是积分变量，
e^{-frac{u^2}{2t}}
e
−
2t
u
2
是正态分布的概率密度函数。
这个分布函数表明，标准布朗运动在任意时间t的取值是一个随机变量，其分布服从均值为0、方差为t的正态分布。因此，标准布朗运动是一种连续时间随机过程，其轨道具有连续性和不可导性。
