什么是偶函数和奇函数 它们俩的图像特征是什么

什么是偶函数和奇函数 它们俩的图像特征是什么

首页维修大全综合更新时间:2023-05-03 10:47:32

什么是偶函数和奇函数 它们俩的图像特征是什么

一、奇函数、偶函数的概念

1、奇函数:假如一个函数f(x)的定义域关于原点对称,并且对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。

2、偶函数:假如一个函数g(x)的定义域关于原点对称,并且对于定义域中的任意x都有g(-x)=g(x),则称函数g(x)为偶函数。

【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。

二、奇函数、偶函数的图像特点

1、奇函数图象关于原点对称。奇函数的图象,是个以原点为对称中心的中心对称图象。

2、偶函数图象关于y轴对称。偶函数的图象,是个以y轴为对称轴的轴对称图象。

3、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。

4、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”,则一定有f(0)=0。因此,如果一个奇函数的定义域中有“0”,则这个奇函数的函数图象一定过原点。

5、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”,则g(0)不一定为0。因此,如果一个偶函数的定义域中有“0”,则这个偶函数的函数图象不一定过原点。

6、偶函数在对称区间上的值域相同,奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。

三、奇函数、偶函数的判定

假设函数f(x)、g(x)的定义域都关于原点对称。则

1、f(x)是奇函数的几个充要条件为:

(1)对定义域中的任意x都有:f(-x)=-f(x);

(2)对定义域中的任意x都有:f(x)+f(-x)=0;

(3)对定义域中的任意x都有:f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不为0.

(4)对定义域中的任意x都有:f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不为0.

(5)f(x)的函数图象关于原点对称。

2、g(x)是偶函数的几个充要条件为:

(1)对定义域中的任意x都有:g(-x)=g(x);

(2)对定义域中的任意x都有:g(x)-g(-x)=0;

(3)对定义域中的任意x都有:g(-x)/g(x)=1;【注】分母不为0.

(4)对定义域中的任意x都有:g(x)/g(-x)=1;【注】分母不为0.

(5)g(x)的函数图象关于y轴对称。

四、函数按奇偶性的分类

所有函数照奇偶性分类可以分成四类,分别是:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

常见的“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数”举例如下。

1、常见的奇函数

(1)次数为奇数的幂函数:y=x^(2n-1),n为整数。例:y=x,y=x^(-1)=1/x,

(2)正弦函数和正切函数:y=sinx,y=tanx。

(3)设函数f(x)的定义域关于原点对称,则g(x)=[f(x)-f(-x)]/2为奇函数。

【注】因为g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。

2、常见的偶函数

(1)常函数:y=c(c为常数)。

(2)次数为偶数的幂函数:y=x^(2n),n为整数。例:y=x^2,y=x^(-2)。

(3)余弦函数及某些三角函数的变形:y=cosx,y=|sinx|,y=|cosx|,y=sin|x|。

(4)特殊的分段函数:y=|x|。

(5)设函数f(x)的定义域关于原点对称,则g(x)=[f(x)+f(-x)]/2为偶函数。

【注】因为g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。

3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数

y=0(定义域关于原点对称)。例:1、y=0,x∈R;2、y=0,x∈(-1,1)等。

【注】高中数学里,“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。

4、常见的非奇非偶函数

(1)奇函数与偶函数的和。例:y=x+1,y=x+x^2;

(2)指数函数、对数函数。例:y=a^x(a>0且a≠1),y=lnx,y=lgx。

(3)某些幂函数。例:y=√x(注:y=“x的算术平方根”)。

五、复合函数的奇偶性

设复合函数u(x)=f(g(x)),定义域非空且关于原点对称,则有:

(1)f(x)、g(x)都为奇函数时,u(x)=f(g(x))为奇函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。

(2)f(x)、g(x)都为偶函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

(3)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

(4)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数时,u(x)=f(g(x))为偶函数。

【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)

大家还看了
也许喜欢
更多栏目

© 2021 3dmxku.com,All Rights Reserved.