sin(x)的六次方的定积分可以表示为：
∫[a, b] sin^6(x) dx
要解决这个问题，我们可以使用一些三角恒等式和代数技巧来简化表达式。
首先，我们可以将sin^6(x)表示为(sin^2(x))^3，然后应用双角公式sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2：
∫[a, b] [(1 - cos(2x))/2]^3 dx
接下来，我们可以展开并化简这个表达式。考虑到积分是线性的，我们可以分别处理每个术语：
∫[a, b] [(1 - cos(2x))^3/8] dx
然后我们可以使用二项式展开将其展开：
∫[a, b] [1/8 - 3/8cos(2x) + 3/8cos^2(2x) - 1/8cos^3(2x)] dx
现在，我们可以逐个积分每个术语：
∫[a, b] 1/8 dx - ∫[a, b] 3/8cos(2x) dx + ∫[a, b] 3/8cos^2(2x) dx - ∫[a, b] 1/8cos^3(2x) dx
对于每个术语，我们可以使用基本的三角函数积分公式来计算。
∫[a, b] 1/8 dx = (b - a)/8
∫[a, b] 3/8cos(2x) dx = 3/16sin(2x) ∣[a, b] = 3/16[sin(2b) - sin(2a)]
∫[a, b] 3/8cos^2(2x) dx = 3/16(2x + sin(4x)/4) ∣[a, b] = 3/16[(2b + sin(4b)/4) - (2a + sin(4a)/4)]
∫[a, b] 1/8cos^3(2x) dx = 1/32sin(6x) - 3/64sin(4x) + 3/32sin(2x) - x/16 ∣[a, b] = 1/32[sin(6b) - sin(6a)] - 3/64[sin(4b) - sin(4a)] + 3/32[sin(2b) - sin(2a)] - (b - a)/16
将这些结果代入原始表达式，得到最终的定积分结果：
[(b - a)/8] - [3/16(sinx(2b) - sin(2a))] + [3/16(2b + sin(4b)/4 - 2a - sin(4a)/4)] - [1/32(sinx(6b) - sin(6a)) - 3/64(sinx(4b) - sin(4a)) + 3/32(sinx(2b) - sin(2a)) - (b - a)/16]
要求解 $int sin^6 x mathrm{d}x$，可以使用三角恒等式将其转化为 $int (sin^2 x)^3 mathrm{d}x$，然后再使用换元法进行求解。
令 $u = sin x$，则 $mathrm{d}u = cos x mathrm{d}x$，将其代入原式得到：
$$
int (sin^2 x)^3 mathrm{d}x = int u^6 frac{mathrm{d}x}{cos^5 x} = int frac{u^6}{(1 - u^2)^2} mathrm{d}u
$$
接下来可以使用部分分式分解法将其化为简单的积分形式。将 $frac{u^6}{(1 - u^2)^2}$ 分解为 $frac{A}{1 - u^2} + frac{B}{(1 - u^2)^2}$ 的形式，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。解得：
$$
A = frac{3}{8}, quad B = frac{1}{8}
$$
将其代入原式得到：
$$
int frac{u^6}{(1 - u^2)^2} mathrm{d}u = frac{3}{8} int frac{u^2}{1 - u^2} mathrm{d}u + frac{1}{8} int frac{1}{(1 - u^2)^2} mathrm{d}u
$$
对第一个积分进行分部积分，令 $v = 1 - u^2$，则 $mathrm{d}v = -2u mathrm{d}u$，得到：
$$
int frac{u^2}{1 - u^2} mathrm{d}u = -frac{1}{2} int frac{1 - v}{v} mathrm{d}v = -frac{1}{2} ln |1 - u^2| + C_1
$$
对第二个积分进行部分分式分解，得到：
$$
int frac{1}{(1 - u^2)^2} mathrm{d}u = frac{1}{4} int left( frac{1}{1 - u} - frac{1}{1 + u} - frac{u}{(1 - u)^2} + frac{u}{(1 + u)^2} ight) mathrm{d}u = frac{1}{4} left( ln left| frac{1 + u}{1 - u} ight| + frac{u}{1 - u^2} ight) + C_2
$$
将上述结果代入原式得到：
$$
int sin^6 x mathrm{d}x = frac{3}{8} left( -frac{1}{2} ln |1 - u^2| + C_1 ight) + frac{1}{8} left( frac{1}{4} left( ln left| frac{1 + u}{1 - u} ight| + frac{u}{1 - u^2} ight) + C_2 ight) + C
$$
其中 $C$ 为积分常数。将 $u = sin x$ 代入上式即可得到最终结果。
