arcsin cosx
=arcsin [sin(π/2+x）]
= kπ+(-1)^k*(x+π/2),其中k是整数，且使kπ+(-1)^k*(x+π/2)∈[-π/2，π/2]
所以∫arcsin(cosx)dx
= kπx+(-1)^k*(x^2/2+πx/2)+c.
∫xarcsinxdx=xarcsinx+√(1-x^2)+C。反正弦函数为增函数。知在反正弦函数的值域上，正弦函数是奇函数，则反正弦函数也是奇函数。

arcsinx的不定积分求法：
利用分部积分法：
即∫udv=uv-∫vdu
∫arcsinxdx=x·arcsinx-∫xd（arcsinx）
=x·arcsinx-∫x/(1-x^2)^(1/2)dx
=x·arcsinx+(1/2)∫1/(1-x^2)^(1/2)d((1-x^2))
=x·arcsinx+(1-x^2)^(1/2)+C
=xarcsinx+√(1-x^2)+C。
回答如下：要推导arcsinx的不定积分公式，可以使用分部积分法。
先令 $u = arcsin x$，$dv = dx$，则 $du = frac{1}{sqrt{1 - x^2}} dx$，$v = x$。
那么，根据分部积分公式：
$$int arcsin x dx = x arcsin x - int frac{x}{sqrt{1 - x^2}} dx$$
接着，令 $u = 1 - x^2$，$du = -2x dx$，则 $frac{x}{sqrt{1 - x^2}} = -frac{1}{2} frac{d}{du} sqrt{u}$。
将上式带入原式中，得到：
$$egin{aligned} int arcsin x dx &= x arcsin x + frac{1}{2} int frac{d}{du} sqrt{u} du \ &= x arcsin x + frac{1}{2} sqrt{u} + C \ &= x arcsin x + frac{1}{2} sqrt{1 - x^2} + C end{aligned}$$
因此，arcsinx的不定积分公式为：
$$int arcsin x dx = x arcsin x + frac{1}{2} sqrt{1 - x^2} + C$$
其中，$C$为任意常数。
