积分中值定理使用条件（积分中值定理证明及推广）

若函数

在闭区间

上连续，则在积分区间

上至少存在一个点

，使下式成立

其中，a、b、

满足：

。[1]

二重积分的中值定理

设f(x,y)在有界闭区域D上连续，

是D的面积，则在D内至少存在一点

，使得:

定理证明

设

在

上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为

，最小值为

，最大值和最小值可相等。

对

两边同时积分可得：

同除以

从而得到：

由连续函数的介值定理可知，必定

，使得

，即：

命题得证。

定理的条件中要求f（x） 在闭区间上连续，仅在开区间上连续或者仅在闭区间上可积都不能保证结论成立。