证明如下：
定义：设数列 {an} 中的元素均为实数。如果对任意给定的正数 ε，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，有 ∣an−L∣<ε，则称数列 {an} 在 L 处收敛，并称 L 是数列 {an} 的极限。
证明：
步骤 1：假设数列 {an} 在 L 处不收敛。
根据定义，存在正数 ε0，使得对任意给定的正整数 N，总存在 n>N，使得 ∣an−L∣≥ε0。
步骤 2：构造出一个数列 {bn}，使得 {bn} 收敛于 L，但 {an} 与 {bn} 在 N 之后的项逐渐分离。
设 {bn} 为如下数列：
b_n =
egin{cases}
a_n, & n le N \
L, & n > N
end{cases}
根据定义，数列 {bn} 在 L 处收敛。
步骤 3：由于 {an} 与 {bn} 在 N 之后的项逐渐分离，因此存在正数 δ，使得当 n>N 时，有 ∣an−bn∣≥δ。
步骤 4：根据步骤 2 和步骤 3，有 ∣an−L∣≥δ，这与定义矛盾。
结论：因此，数列 {an} 在 L 处收敛。
注意事项：
在数列极限的定义证明中，我们使用了反证法。
数列极限的定义是数学分析的基础，在微积分等数学分支中都有着广泛的应用。
